Обратные гиперболические функции

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции или ареа-функции) — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x² − y² = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x² + y² = 1. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такие обозначения являются, строго говоря, ошибочными, так как префикс arc является сокращением от arcus (дуга) и потому относится только к обратным тригонометрическим функциям, тогда как ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия обратный гиперболический синус, ареасинус и т. д. Также применяют^[1] названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д., но слово «гиперболический» здесь является лишним, поскольку на принадлежность функции семейству обратных гиперболических функций однозначно указывает префикс «ареа». Иногда названия соответствующих функций записывают через дефис: ареа-синус, ареа-косинус и т. д.

В комплексной плоскости гиперболические функции являются периодическими, а обратные им функции — многозначными. Поэтому подобно обратным тригонометрическим функциям обозначения ареафункций принято записывать с большой буквы, если подразумевается множество значений функции (логарифм в соответствующем определении функции также понимается как общее значение логарифма, обозначаемое Ln). С маленькой буквы записываются главные значения соответствующих функций.

В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.

В комплексной плоскости главные значения функций можно определить формулами:

• ареасинус

${\displaystyle \operatorname {arsh} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);}$

• ареакосинус

${\displaystyle \operatorname {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}});}$

• ареатангенс

${\displaystyle \operatorname {arth} \,z={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right);}$

• ареакотангенс

${\displaystyle \operatorname {arcth} \,z={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right);}$

• ареасеканс

${\displaystyle \operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right);}$

• ареакосеканс

${\displaystyle \operatorname {arcsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right).}$

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть ${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2},}$ если представить комплексное число z как ${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$ при ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}},}$ которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}$

Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой

${\displaystyle \operatorname {arsh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}.}$

Функция ${\displaystyle f(x)}$	Производная ${\displaystyle f'(x)}$	Примечание
${\displaystyle \mathrm {arsh} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1}})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1}})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2}+1}})}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arch} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1}})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2}-1}})}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arth} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle ({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcth} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}$	Доказательство                                  ${\displaystyle ({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arsech} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcsch} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}}$

Для действительных x:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}=\mp {\frac {1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}=\mp {\frac {1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\end{aligned}}}$

Пример дифференцирования: если θ = arsh x, то:

${\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\operatorname {sh} \theta }}={\frac {1}{\operatorname {ch} \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} (\operatorname {arch} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}},\quad \quad |x|>1;\\&\operatorname {sh} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arsh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}};\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {th} (\operatorname {arsh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}};\\&\operatorname {th} (\operatorname {arch} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\quad \quad |x|>1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {arsh} \;u\pm \operatorname {arsh} \;v=\operatorname {arsh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right).}$

${\displaystyle \operatorname {arch} \;u\pm \operatorname {arch} \;v=\operatorname {arch} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right).}$

${\displaystyle \operatorname {arth} \;u\pm \operatorname {arth} \;v=\operatorname {arth} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \;u+\operatorname {arch} \;v&=\operatorname {arsh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arch} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right).\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arch} x&=\operatorname {arch} (2x^{2}-1),&\quad \quad x\geq 1;\\4\operatorname {arch} x&=\operatorname {arch} (8x^{4}-8x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 1;\\2\operatorname {arsh} x&=\operatorname {arch} (2x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 0;\\4\operatorname {arsh} x&=\operatorname {arch} (8x^{4}+8x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 0.\\\end{aligned}}}$

• Гиперболические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Таблица интегралов обратных гиперболических функций

• Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

• Inverse hyperbolic functions на сайте MathWorld
• Inverse hyperbolic functions

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (1 сентября 2013) Раздел литературы нуждается в оформлении согласно рекомендациям. Пожалуйста, оформите его согласно образцам здесь. (1 сентября 2013) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (1 сентября 2013) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.