Неассоциативное кольцо

Неассоциативное кольцо (не обязательно ассоциативное кольцо) — общеалгебраическая структура, обобщение понятия кольца, определяется сходным с кольцом образом, но при этом не требуется ассоциативность умножения. Иногда под «кольцом» понимается это его обобщение, но большинство источников по алгебре включают в определение термина «кольцо» условие ассоциативности умножения.

Определение[править | править код]

Неассоциативное кольцо — множество ${\displaystyle R}$, на котором заданы две бинарные операции: ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle \times }$ (называемые сложением и умножением), со следующими свойствами, выполняющимися для любых ${\displaystyle a,b,c\in R}$:

1. ${\displaystyle a+b=b+a}$ — коммутативность сложения;
2. ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$ — ассоциативность сложения;
3. ${\displaystyle \exists 0\in R\ \left(a+0=0+a=a\right)}$ — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. ${\displaystyle \forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)}$ — существование противоположного элемента относительно сложения;
5. ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=a\times b+a\times c\\(b+c)\times a=b\times a+c\times a\end{matrix}}\right.}$ — дистрибутивность.

Иными словами, неассоциативное кольцо — это универсальная алгебра ${\displaystyle \langle R,+,\times ,0\rangle }$, такая что алгебра ${\displaystyle \langle R,+\rangle }$ — абелева группа, и операция ${\displaystyle \times }$ дистрибутивна слева и справа относительно ${\displaystyle +}$.

Кольцо, в котором операция умножения обладает свойством альтернативности, называется альтернативным.

Свойства[править | править код]

Даже если кольцо имеет единицу, не работает привычное понятие обратимого элемента: обратный может существовать с одной стороны и отсутствовать с другой, могут существовать с обеих сторон но быть разными, или существовать различные односторонние обратные к одному элементу. Также, наличие каких-либо обратных не гарантирует, что элемент не делит нуль, и не сохраняется при перемножении.

Аналогично обычным кольцам, неассоциативное кольцо можно рассмотреть как неассоциативную алгебру над кольцом целых чисел.

Примеры[править | править код]

Алгебры (не обязательно ассоциативные) над полем или над кольцом являются неассоциативными кольцами.

Неассоциативными кольцами являются алгебры Ли и йордановы алгебры (с учётом определения как алгебр над кольцом целых чисел).

Полуполе — структура с делением, в которой ненулевые элементы которой образуют квазигруппу по умножению, также является неассоциативным кольцом.

Ссылки[править | править код]

• Л. А. Бокуть. Неассоциативные кольца и алгебры // Математическая энциклопедия (рус.). — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.