Лемниската Жероно

Лемниска́та Жероно́, или лемниската Гюйгенса — плоская кривая, удовлетворяющая уравнению $\textstyle x^{4}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$ .

Получила свое название в честь французского математика Камиля-Кристофа Жероно, который описал её свойства в своем учебнике по геометрии, изданном в Париже в 1854 г.

Уравнение кривой в плоских координатах: $y=\pm {\sqrt {\frac {a^{2}x^{2}-x^{4}}{a^{2}}}}$ .

Лемниската Жероно является уникурсальной кривой, поэтому может быть описана в параметрическом виде через рациональные функции:

x=a{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ \ y=a{\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}

.

Также параметрический вид через тригонометрические функции:

x=a\cos(t),\ \ y=a\sin(t)\cos(t)=a\sin(2t)/2,

или

x=a\cos(\omega t),\ \ y=b\sin(\omega t)\cos(\omega t)=b\sin(2\omega t)/2

и является одной из фигур Лиссажу с удвоенной частотой колебаний по оси $y$ относительно колебаний по оси $x$ и нулевым сдвигом фаз.

Построения[править | править код]

При помощи программы GNU Octave[править | править код]

Лемниската Жероно может быть построена с помощью GNU Octave — свободной программной системы для математических вычислений, использующей совместимый с MATLAB язык высокого уровня.

Следующий код, выполняемый в GNU Octave, позволяет построить график лемнискаты Жероно:

a = 1 t=linspace(0,2*pi,1000);  x = a * cos (t) y = a * sin (2 .* t) / 2 plot(x,y,"b",'LineWidth', 2)  % plot X and Y axis x=[-1.5*a, 1.5*a]; y=[0, 0]; line(x,y) x=[0, 0]; y=[-1, 1]; line(x,y)  axis([-1.5*a,1.5*a,-a,a],"equal")  grid on

Результат работы для a=1 приведён в начальной части статьи.

Для построяения кривой используется параметрическая форма расчета координат x и y.

При помощи программы Sage Math[править | править код]

Построение лемнискаты Жероно в Sage, используя неявно заданную функцию.

Построение в Sage лемнискаты Жероно, используя неявно заданную функцию.

Лемниската Жероно задается с помощью уравнения $\textstyle x^{4}-a^{2}(x^{2}-y^{2})=0$ . По умолчанию принимается значение $a=1$

## Лемниската Жероно ## x^4=a^2*(x^2-y^2)  a=1 var('x y') pl=implicit_plot(x^4-(a^2)*(x^2-y^2), (x,-a,a), (y,-a,a),linewidth=2, gridlines=True,frame=False,axes=True) pl.show()