Лемма Соллертинского
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Ле́мма Соллерти́нского — утверждение проективной геометрии.
| Пусть — произвольная точка и — проективное преобразование. Тогда множество точек пересечения и , где — прямая, проходящая через , есть коника, проходящая через точки и |
Доказательство[править | править код]
Пусть , , — прямые, проходящие через точку , , , — точки пересечения и , и , и . Пять точек , , , , определяют конику, притом единственную. Пусть вторая точка пересечения прямой , проходящей через , с этой коникой, , а точка пересечения прямой с этой коникой, . Тогда равны следующие двойные отношения: . Значит, , то есть прямые и переекаются на той же конике. В силу произвольности выбора прямой на ней лежат все такие точки пересечения, что и требовалось.
История[править | править код]
Лемма названа в честь петербургского математика Н. Соллертинского, использовавшего её при доказательстве теоремы Сонда́ в 1896 году.[1] На самом деле это утверждение было известно до Соллертинского; приписывается оно ещё Якобу Штейнеру.
Частные случаи, обобщения и следствия[править | править код]
- Если — движение плоскости, сохраняющее ориентацию фигур, то полученная коника будет окружностью. Это равносильно теореме о вписанном угле.
- Если — движение плоскости, изменяющее ориентацию фигур, то полученная коника будет равносторонней гиперболой. Это следует из того, что описанная коника проходит через ортоцентр треугольника тогда и только тогда, когда она является равносторонней гиперболой.
- Двойственное к лемме Соллертинского утверждение звучит так:
| Пусть — произвольная прямая и — проективное преобразование. Тогда все прямые , где — точка, лежащая на , касаются коники, касающейся прямых и |
- Обратно, всякое гармоническое соответствие двух прямых на плоскости (соответствие между их точками, сохраняющее двойные отношения) получается таким образом: выбирается коника , касающаяся обеих прямых , в точке проводится касательная к , отличная от , и берется точка ее пересечения с .
- Если — две скрещивающиеся прямые в пространстве, и — соответствие, сохраняющее двойные отношения, то прямая заметает некую квадрику. Они будут составлять одно из двух семейств прямых на ней, а и будут относиться к другому семейству.
- Пусть на сторонах произвольного треугольника построили во внешнюю (внутреннюю) сторону подобные равнобедренные треугольники , , . Тогда прямые , , пересекаются в одной точке, лежащей на описанной гиперболе, проходящей через центроид и ортоцентр — гиперболе Киперта.
- Если два треугольника ортологичны, причём центры ортологии совпадают, то они перспективны.
- Это утверждение Соллертинский использовал при доказательстве теоремы Сонда.
- Из него также следует, что если два треугольника полярны, то они перспективны.
 | Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
Примечания[править | править код]
- ↑ Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — М.: МЦНМО, 2011. — 148 с. — ISBN 978-5-94057-732-4.