Иерархия алефов

Wikipedia open wikipedia design.

Алеф-ноль, наименьшее бесконечное кардинальное число

Иера́рхия а́лефов в теории множеств и в математике вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления мощности (количества элементов) бесконечных вполне упорядоченных множеств[1]. Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные натуральные числа, упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы алеф еврейского алфавита с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным порядковым числом. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса.

Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («счётная») обозначается (читается: «алеф-ноль»), далее следует (алеф-один) и так далее.

Иерархия алефов была описана немецким математиком Георгом Кантором в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы)[2].

Обозначения алефов не следует путать с символом бесконечности Валлиса (), который часто встречается в математическом анализе и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание ( означает неограниченное убывание) функции, либо особую («бесконечно удалённую») точку на расширенной числовой прямой или комплексной плоскости, в то время как алеф есть мера мощности множеств.

Общее определение и свойства[править | править код]

Как сказано выше, символ обозначает счётную мощность натурального ряда. Пусть — некоторое порядковое число; рассмотрим соответствующий ему ординал Тогда символ обозначает[1] мощность множества всех порядковых чисел, меньших

Некоторые свойства.
  • Все алефы сравнимы между собой, из двух алефов больше тот, у которого больше индекс.
  • Каждое кардинальное число совпадает с одним из алефов (требуется аксиома выбора).
  • Предположение: известно как континуум-гипотеза.
  • Множество всех алефов, меньших заданного вполне упорядочено, и его порядковый тип равен
  • Наибольшего элемента среди алефов нет. Иерархия алефов не образует множества в смысле аксиоматики Цермело-Френкеля.

Примеры[править | править код]

Алеф-ноль[править | править код]

(алеф-ноль) — это мощность множества натуральных чисел первый бесконечный кардинал. Множество всех конечных ординалов обозначается строчной греческой буквой (омега), или оно имеет мощность

Множество имеет мощность тогда и только тогда, когда оно счётно, то есть существует взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел . Примеры множеств мощности :

Бесконечные ординалы:

все относятся к счётным множествам[3]. Например, следующая последовательность (с ординалом ω·2), содержащая сначала все положительные нечётные числа, а за ними все положительные чётные числа:

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

описывает некоторый порядок на множестве целых положительных чисел мощности .

Если выполняется аксиома выбора или, по крайней мере, аксиома счетного выбора (более слабая), то меньше, чем любой другой бесконечный кардинал.

Алеф-один[править | править код]

(алеф-один) — это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается (иногда ). Ординал больше, чем все счётные ординалы, и соответствует несчётным множествам. Следовательно, не совпадает с и больше его.

Если принята аксиоматика Цермело — Френкеля (даже без аксиомы выбора), то между и нет никаких других кардинальных чисел. С помощью аксиомы выбора мы можем показать одно из самых полезных свойств множества : любое счётное подмножество имеет верхнюю границу в (это следует из того, что счётное объединение счётных множеств счётно). Этот факт аналогичен ситуации в : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимальный элемент, который также является натуральным числом, и конечное объединение конечных множеств конечно.

Если принять континуум-гипотезу, то совпадает с мощностью поля вещественных чисел (континуум). Если же континуум-гипотеза неверна, то континуум соответствует одному из более далёких алефов.

Арифметика алефов[править | править код]

Георг Кантор определил для любых кардинальных чисел операции, аналогичные обычным арифметическим. Свойства их, однако, во многом отличаются от обычных и часто требуют применения аксиомы выбора. Примеры:

  • Сумма любого алефа с самим собой даёт тот же алеф:
  • Конечная степень любого алефа даёт тот же алеф.
  • Сумма и произведение разных алефов даёт наибольший из них.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Математическая энциклопедия, 1977.
  2. Joseph Warren Dauben. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. — ISBN 9780691024479.
  3. Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag 

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]



This page is based on a Wikipedia article written by contributors (read/edit).
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

Destek