Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости (англ. linear fractional transformation of the complex plane), — это отображение комплексной плоскости на себя^[1][2][3][4]:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

${\displaystyle a,b,c,d}$ — постоянные, ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$.

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразований^{[5][6][7][8][9]}.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:

• одномерное комплексное дробно-линейное преобразование^[10];
• дробно-линейная функция одной комплексной переменной^[11];
• рациональная функция первого порядка^[12];
• одномерное комплексное преобразование Мёбиуса^[13].

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного^[12][4].

Обладая обманчивой простотой, дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых захватывающих современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде магическом взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером Пенроузом^[4][14].

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя^{[1][2][3][12]}:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

${\displaystyle a,b,c,d}$ — постоянные, или коэффициенты, ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$.

Дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L(z)}$ представляет дробь, числитель и знаменатель которой

${\displaystyle az+b}$ и ${\displaystyle cz+d}$

суть целые линейные функции^[15]:

При ${\displaystyle ad-bc=0}$ дробь из ${\displaystyle L(z)}$ становится сократимой и вырождается в постоянную, то есть ${\displaystyle L(z)}$ перестаёт быть дробно-линейным преобразованием^[15].

При ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$ дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ становится следующей целой линейной функцией^[16][15][17]:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=l(z)={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$.

Компактифицируем комплексную плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Для этого добавим к множеству конечных точек ${\displaystyle z\neq \infty }$ этой плоскости единственную бесконечную, или бесконечно удалённую, точку ${\displaystyle z=\infty }$ — некоторый абстрактный идеальный элемент^[18].

Расширенной, или замкнутой, комплексной плоскостью ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ называется компактифицированная, то есть дополненная бесконечно удалённой точкой ${\displaystyle \infty }$, комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$. В связи с этим исходная комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$ иногда называется конечной, или открытой, плоскостью^[19].

Дробно-линейная функция

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

была определена для всех точек расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$, кроме следующих^[20]:

• при ${\displaystyle c\neq 0}$ — кроме точек ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$;
• при ${\displaystyle c=0}$ — кроме точки ${\displaystyle z=\infty }$.

Доопределим дробно-линейную функцию в этих особых точках, чтобы получить следующее преобразование расширенной комплексной плоскости^[20]:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$.

Легко получить, что^[21][20][22]:

• при ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$ ввиду

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }\left({\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}\right)=\infty }$

доопределяем с сохранением непрерывности функции

${\displaystyle w(\infty )=\infty }$;

• при ${\displaystyle c\neq 0}$ два выражения

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle \lim _{z\to -{\frac {d}{c}}}{\frac {az+b}{cz+d}}=\infty }$

говорят о том, что необходимо доопределить с сохранением непрерывности функции

${\displaystyle w(\infty )={\frac {a}{c}}}$, ${\displaystyle w\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty }$.

В литературе встречаются следующие синонимы дробно-линейного преобразования:

• как противопоставление целому линейному преобразованию:

• лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости^[3][23][4];
• о́бщее лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости^[24];
• билине́йное преобразова́ние комплексной плоскости^[4];
• лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости^[23];
• о́бщая лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости^[24];

• как проективное преобразование:

• гомографи́ческое преобразова́ние комплексной плоскости^[3][4];

• отображение множеств — обобщение понятий преобразования и функции;

• дро́бно-лине́йное отображе́ние комплексной плоскости^{[1][25][26][27]};

• преобразование осуществляется с помощью его функции:

• дро́бно-лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости^{[11][28][16][26]};
• рациона́льная фу́нкция первого порядка^[29][12];

• преобразование, сохраняющее окружности:

• то́чечное круго́вое преобразова́ние комплексной плоскости^[30];
• преобразова́ние Мёбиуса комплексной плоскости^[31][4];
• отображе́ние Мёбиуса комплексной плоскости^[27];

• в теории относительности:

• спи́новое преобразова́ние^[14].

Определитель, или детерминант, дробно-линейного преобразования, записанного в форме

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$, —

это следующая величина, выражение для которой составлено из постоянных дробно-линейного преобразования^[12][3]:

${\displaystyle ad-bc}$.

Перепишем функцию дробно-линейного преобразования так, чтобы в её записи появилось выражение для детерминанта. Для этого выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при переменной ${\displaystyle z}$ при условии ${\displaystyle c\neq 0}$^[32][2]:

${\displaystyle w=L(z)={\frac {{\frac {a}{c}}z+{\frac {b}{c}}}{z+{\frac {d}{c}}}}={\frac {{\frac {a}{c}}\left(z+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{z+{\frac {d}{c}}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(z+{\frac {d}{c}})}}}$, ${\displaystyle c\neq 0}$.

Теперь очевидно, что при нулевом детерминанте ${\displaystyle ad-bc=0}$ дробно-линейное преобразование вырождается в постоянную ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$, то есть отображает всю комплексную плоскость в одну точку ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$^{[12][32][2][26]}.

Не умаляя общности, можно разделить постоянные ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ обычной записи дробно-линейного преобразования либо на ${\displaystyle {\sqrt {ad-bc}}}$, либо на ${\displaystyle -{\sqrt {ad-bc}}}$ — без разницы, и получить, что его детерминант будет равен единице^[33]:

${\displaystyle ad-bc=1}$.

Унимодулярная нормировка — приведение значения детерминанта к единице^[6]:

${\displaystyle ad-bc=1}$.

Унимодулярное дробно-линейное преобразование — дробно-линейное преобразование с унимодулярной нормировкой^[34].

1. Биективность. Дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$.

определено однозначно на всей расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[20].

Выразим ${\displaystyle z}$ через ${\displaystyle w}$ (${\displaystyle c\neq 0}$, случай ${\displaystyle c=0}$ достаточно очевиден):

${\displaystyle z={\frac {dw-b}{-cw+a}}={\frac {-dw+b}{cw-a}}}$,

получаем, что любому значению ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle w\neq {\frac {a}{c}}}$ и ${\displaystyle w\neq \infty }$, отвечает одно определённое значение ${\displaystyle z}$, а из доопределения преобразования на расширенной плоскости точкам ${\displaystyle w={\frac {a}{c}}}$ и ${\displaystyle w=\infty }$ отвечают точки ${\displaystyle z=\infty }$ и ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование биективно, то есть взаимно однозначно^[20][35].

2. Гомеоморфность. Достаточно очевидна непрерывность преобразования в силу его доопределения с сохранением непрерывности на расширенной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$. Следовательно, дробно-линейное преобразование гомеоморфно, то есть взаимно однозначно и непрерывно на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[25].

3. Конформность. Найдём производную дробно-линейного преобразования^[20][35][36]:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L^{\prime }(z)={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}={\frac {ad-bc}{(cz+d)^{2}}}}$.

Отсюда получаем, что дробно-линейное преобразование конформно при ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$, ${\displaystyle z\neq -{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z\neq \infty }$. Очевидно, что точка расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ — простой полюс, а точка ${\displaystyle z=\infty }$ — регулярная, то есть дробно-линейная функция в ней аналитическая. Оба вычета в точках ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ отличны от нуля: ${\displaystyle {\frac {bc-ad}{c^{2}}}\neq 0}$ и ${\displaystyle {\frac {ad-bc}{c^{2}}}\neq 0}$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование конформно в оставшихся точках ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ и, поскольку оно биективно, то и конформно на всей расширенной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[35].

Изучению подлежит множество всех дробно-линейных преобразований с ненулевыми детерминантами. Две формы дробно-линейных преобразования расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle L_{1}(z)={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}}$ и ${\displaystyle L_{2}(z)={\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}}$

называются равными, если они имеют одинаковые значения, то есть ${\displaystyle L_{1}(z)=L_{2}(z)}$ при всех значениях комплексной переменной ${\displaystyle z}$^[12].

Имеет место следующее утверждение^[12]:

• две формы дробно-линейных преобразования

${\displaystyle L_{1}(z)={\frac {a_{1}z+b_{1}}{c_{1}z+d_{1}}}}$ и ${\displaystyle L_{2}(z)={\frac {a_{2}z+b_{2}}{c_{2}z+d_{2}}}}$

равны тогда и только тогда, когда их соответствующие постоянные пропорциональны между собой, то есть

${\displaystyle a_{2}=\lambda a_{1}}$, ${\displaystyle b_{2}=\lambda b_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}=\lambda c_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}=\lambda d_{1}}$, ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.

Последнее утверждение имеет следующее следствие^[37]:

• значение детерминанта ${\displaystyle ad-bc}$ дробно-линейного преобразования ${\displaystyle L(z)}$ не постоянно для равных преобразований.

Действительно, если постоянные ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ заменить на постоянные ${\displaystyle \lambda a}$, ${\displaystyle \lambda b}$, ${\displaystyle \lambda c}$ и ${\displaystyle \lambda d}$ при ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, то детерминант увеличится в ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ раз. Для равных форм преобразований неизменно отличие детерминанта^[37].

Таким образом, дробно-линейное преобразование

${\displaystyle L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

имея в этой форме четыре постоянные, зависит только от трёх комплексных параметров^[38].

В общем случае дробно-линейного преобразования расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

его образ ${\displaystyle w}$, как правило, отличен от исходной точки ${\displaystyle z}$ комплексной плоскости. Тем не менее и здесь присутствуют неподвижные точки преобразования ${\displaystyle L(z)}$^[39].

Неподвижная точка дробно-линейного преобразования — это точка комплексной плоскости, совпадающая со своим образом при этом преобразовании. Следовательно, неподвижная точка должна удовлетворять следующему уравнению^[40][41]:

${\displaystyle z={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

${\displaystyle z(cz+d)=az+b}$,

${\displaystyle cz^{2}+(d-a)z-b=0}$.

Это квадратное уравнение всегда имеет два различных или совпадающих корня (за исключением случая тождественного дробно-линейного преобразования ${\displaystyle z=z}$). В случае, когда при ${\displaystyle c=0}$ второй корень отсутствует, будем считать, что он тоже «равен бесконечности» ${\displaystyle \infty }$. В частности^{[40][41][6][42][43]}:

• имеется хотя бы одна неподвижная точка ${\displaystyle z=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle b=0}$, поскольку ${\displaystyle 0=L(0)={\frac {b}{d}}}$;
• имеется хотя бы одна неподвижная точка ${\displaystyle z=\infty }$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle c=0}$, поскольку ${\displaystyle \infty =L(\infty )={\frac {a\infty +b}{c\infty +d}}}$.

Имеется критерий неподвижных точек того, что преобразование — целое линейное:

• целое линейное преобразование имеет хотя бы одну бесконечно удаленную неподвижную точку^[44].

Дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ — целая линейная, если её постоянные ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$^[39]:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=l(z)={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$.

В любом случае, поскольку всегда ${\displaystyle l(\infty )=\infty }$, у целого линейного преобразования есть неподвижная точка — это бесконечно удалённая точка ${\displaystyle \xi _{1}=\infty }$ расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$^[39].

1. Случай ${\displaystyle a\neq d}$. Точка

${\displaystyle \xi _{2}={\frac {\frac {b}{d}}{1-{\frac {a}{d}}}}={\frac {b}{d-a}}}$ —

конечная вторая неподвижная точка целого линейного преобразования

${\displaystyle w={\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}}$,

задаваемая этим уравнением^[39].

2. Случай ${\displaystyle a=d}$. Если ${\displaystyle {\frac {a}{d}}=1}$ и ${\displaystyle {\frac {b}{d}}\neq 0}$, то у целого линейного преобразования

${\displaystyle w=z+{\frac {b}{d}}}$

нет конечной неподвижной точки. Однако его бесконечная удалённая точка представляет собой две слившиеся неподвижные точки, поскольку при ${\displaystyle {\frac {a}{d}}\neq 1}$, ${\displaystyle {\frac {b}{d}}\neq 0}$ и ${\displaystyle {\frac {a}{d}}\to 1}$ конечная неподвижная точка

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {\frac {b}{d}}{1-{\frac {a}{d}}}}={\frac {b}{d-a}}}$

стремится к бесконечно удалённой^[39].

Дробно-линейная функция ${\displaystyle L(z)}$ считается дробно-линейной функцией общего вида, если её постоянная ${\displaystyle c\neq 0}$. У такой функции следующие точки комплексной плоскости не являются неподвижными:

${\displaystyle z=\infty }$ и ${\displaystyle z=-{\frac {d}{c}}}$,

так как

${\displaystyle L(\infty )={\frac {a}{c}}\neq \infty }$ и ${\displaystyle L(-{\frac {d}{c}})=\infty \neq -{\frac {d}{c}}}$

соответственно^[42].

Теперь, решая в общем случае уравнение

${\displaystyle z={\frac {az+b}{cz+d}}}$, то есть ${\displaystyle cz^{2}+(d-a)z-b=0}$,

при

${\displaystyle z\neq \infty }$ и ${\displaystyle z\neq -{\frac {d}{c}}}$,

получим^[44]:

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}}$.

Для унимодулярного дробно-линейного преобразования имеем^[45]:

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4}}}{2c}}}$.

Имеем два случая.

• Дискриминант не равен нулю:

${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc\neq 0}$,

в унимодулярном случае^[45]:

${\displaystyle (a+d)^{2}-4\neq 0}$.

Тогда существуют две различные конечные неподвижные точки^[44].

• Дискриминант равен нулю:

${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc=0}$,

в унимодулярном случае^[45]:

${\displaystyle (a+d)^{2}-4=0}$, то есть ${\displaystyle a+d=\pm 2}$.

Тогда существует одна двойная конечная неподвижная точка

${\displaystyle \xi _{1}={\frac {a-d}{2c}}}$,

которая равна нулю тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=d}$, ${\displaystyle c\neq 0}$^[44].

Только тождественное дробно-линейное преобразование ${\displaystyle U(z)=z}$ имеет более двух неподвижны точек, у него все точки комплексной плоскости неподвижны. Поэтому, если у дробно-линейного преобразования больше двух неподвижных точек, то оно тождественное. Получается следующее утверждение^[44]:

• два дробно-линейных преобразования равны, если их значения совпадают в трёх различных точках.

Следовательно, для задания дробно-линейного преобразования достаточно иметь три различные точки комплексной плоскости ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ вместе с их образами ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$, причём такое преобразование единственное^[47].

Это согласуется с тем, что дробно-линейное преобразование зависит только от трёх комплексных параметров^[48].

Построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (z)}$, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$, на которых преобразование имеет следующие конкретные и не всегда конечные значения^[47]:

${\displaystyle 0=\Lambda (z_{1})}$, ${\displaystyle \infty =\Lambda (z_{2})}$, ${\displaystyle 1=\Lambda (z_{3})}$.

Имеет место следующее утверждение^[47]:

• дробно-линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (z)}$, отображающее произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в конкретные точки ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \infty }$ и ${\displaystyle 1}$ соответственно, задаётся следующей функцией^[47]:

${\displaystyle \Lambda (z)={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

1. Сначала построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle L(z)}$, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$, на которых преобразование имеет следующие конечные значения^[47]:

${\displaystyle w_{1}=L(z_{1})}$, ${\displaystyle w_{2}=L(z_{2})}$, ${\displaystyle w_{3}=L(z_{3})}$.

Имеет место следующее утверждение^[47]:

• дробно-линейное преобразование ${\displaystyle w=L(z)}$, отображающее произвольные конечные комплексные точки ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ и ${\displaystyle z_{3}}$ в произвольные конечные точки ${\displaystyle w_{1}}$, ${\displaystyle w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$ соответственно, задаётся следующей неявной функцией^[49]:

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$.

2. Дробно-линейное преобразование построено по трём точкам для случая, когда все шесть точек ${\displaystyle z_{k}}$ и ${\displaystyle w_{l}}$, ${\displaystyle k,l=1,2,3}$, конечные. В случае бесконечных точек нужно воспользоваться следующим мнемоническим правилом:

• в случае, если какая-то ${\displaystyle z_{k_{0}}=\infty }$ (только одна, так как ${\displaystyle \infty }$ одна на плоскости для z) или какая-то ${\displaystyle w_{l_{0}}=\infty }$ (только одна, так как ${\displaystyle \infty }$ одна на плоскости для w) или они обе вместе ${\displaystyle z_{k_{0}}=w_{l_{0}}=\infty }$, то тогда в уравнении

${\displaystyle {\frac {w-w_{1}}{w-w_{2}}}{\frac {w_{3}-w_{2}}{w_{3}-w_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z-z_{2}}}{\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}}$

разности с бесконечными ${\displaystyle z_{k_{0}}}$ и ${\displaystyle w_{l_{0}}}$ заменяются на константу 1, то есть попросту вычёркиваются^[52].

Поскольку каждая из шести точек ${\displaystyle z_{k}}$ и ${\displaystyle w_{l}}$ входит в последнее уравнение дважды. один раз в числителе уравнения, а второй раз в его знаменателе, причём с одним и тем же знаком^[53], то это правило легко проверяется с использованием предельного перехода к бесконечности. Например, если точка ${\displaystyle z_{1}=\infty }$, то тогда, временно считая ${\displaystyle z_{1}}$ конечной, заменим ${\displaystyle z-z_{1}}$ на

${\displaystyle {\frac {z}{z_{1}}}-1}$

и затем осуществим переход к пределу при ${\displaystyle z_{1}\to \infty }$^[52].

Двойное, или ангармоническое, отношением четырёх чисел или точек — это числовая величина, равная отношению

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}{\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

где ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ суть четыре произвольных различных конечных комплексных числа^{[52][54][55][56][57]}.

Если обозначить двойное отношение четвёрки чисел через ${\displaystyle \lambda }$, то при любой из 24 перестановок четвёрки чисел, входящих в это двойное отношение, получаем одну из следующих шести числовых величин^[57]:

${\displaystyle \lambda ,{\frac {1}{\lambda }},1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}}}$.

Распространим это определение на случай бесконечной точки.

Двойное отношением четырёх точек, одна из которых бесконечно удалённая, — это предел двойного отношения четырёх конечных точек, когда соответствующая точка стремится к бесконечности^[58][54][55].

В соответствии с последним определением получаем разные виды двойного отношения четырёх точек^[59]:

${\displaystyle (\infty ,z_{2},z_{3},z_{4})={\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{3}-z_{2}}}}$,

${\displaystyle (z_{1},\infty ,z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

${\displaystyle (z_{1},z_{2},\infty ,z_{4})={\frac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}}$,

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3},\infty )={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}}$.

Имеет место следующее утверждение, называемое инвариантностью двойного отношения^[59][54][55]:

• двойное отношением четырёх точек есть инвариант дробно-линейного преобразования

${\displaystyle w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

то есть двойное отношением четырёх точек остаётся неизменным при действии дробно-линейного преобразования.

Итак, если не учитывать тождественное преобразование ${\displaystyle z=z}$, то дробно-линейного преобразования разделены на два класса^[60]:

• имеющие две неподвижные точки ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$;
• имеющие одну неподвижную точку ${\displaystyle \xi _{1}}$.

Для общего случая дробно-линейного преобразования имеет место следующее утверждение^{[61][60][62][10]}:

• дробно-линейное преобразование

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}:z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

в общем случае имеющее при условиях ${\displaystyle c\neq 0}$ и ${\displaystyle (a-d)^{2}+4bc\neq 0}$ две различные конечные неподвижные точки

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a-d\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}}$,

можно представить в неявной форме как

${\displaystyle {\frac {w-\xi _{1}}{w-\xi _{2}}}=K{\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}}$, где ${\displaystyle K={\frac {a-c\xi _{1}}{a-c\xi _{2}}}\neq 0;1}$.