Биголоморфное отображение

Биголомо́рфное отображе́ние^[1] ― в теории функций нескольких комплексных переменных, обобщение однолистного конформного отображения на случай нескольких комплексных переменных^[2].

В математике для функций одной переменной имеются конформные отображения с хорошими свойствами. Но в случае двух переменных и более конформность отсутствует. Аналог конформного отображения здесь — биголоморфное отображение^[3].

Имеют место следующие синонимы: голоморфный изоморфизм^[2][4][3][5], голоморфизм, псевдоконформное отображение^[2], однолистное отображение^[5], биголоморфизм^[6].

Биголоморфное отображение — отображение ${\displaystyle f}$ области ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$, голоморфное в ${\displaystyle D}$, а также обладающее обратным отображением ${\displaystyle g=f^{-1}}$, которое также голоморфно в ${\displaystyle G=f(D)}$^[7][3][8][9].

Области ${\displaystyle D_{1}}$ и ${\displaystyle D_{2}}$ биголоморфно эквивалентны, ${\displaystyle D_{1}\sim D_{2}}$, когда имеется биголоморфное отображение ${\displaystyle D_{1}}$ на ${\displaystyle D_{2}}$^[3].

Предложение 1. Отображение биголоморфно, если оно голоморфно и взаимно однозначно^[10].

Это предложение иногда используют при определении биголоморфного отображения^[2][5][6].

Биголоморфное отображение — голоморфное взаимно однозначное отображение области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ на область ${\displaystyle D'\subset \mathbb {C} ^{n}}$. Любое биголоморфное отображение невырождено в ${\displaystyle D}$^[2][5][6].

Предложение 2. Отображение, обратное к биголоморфному отображению, всегда биголоморфно^[2][5].

Отсюда следует, что биголоморфное отображение гомеоморфно глобально, а не только локально^[5].

Голоморфный изоморфизм — синоним биголоморфного отображения ${\displaystyle f\colon D\to G=f(D)}$, при этом области ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle G}$ биголоморфно эквивалентны^[4][3][5].

Голоморфный автоморфизм — голоморфный изоморфизм области ${\displaystyle D}$ на себя^[4].

Биголоморфность не совпадает с конформностью уже при ${\displaystyle n>1}$. Так, в двумерном комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ отображение

${\displaystyle (z_{1},\,z_{2})\to (z_{1},\,2z_{2})}$

биголоморфно, но не конформно. С другой стороны, на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ отображение

${\displaystyle z\to {\frac {z}{|z|^{2}}}}$

конформно, но ни голоморфно, ни антиголоморфно^[4].

Рассмотрим произвольное комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z)}$. Пусть ${\displaystyle D}$ — его любая область, то есть открытое связное подмножество. Множество голоморфных автоморфизмов ${\displaystyle \varphi \colon D\to D}$ области ${\displaystyle D}$ составляют группу автоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Aut} D}$: групповая операция — композиция автоморфизмов ${\displaystyle \varphi _{2}\circ \varphi _{1}}$, единица группы — тождественное отображение ${\displaystyle e\colon z\to z}$, обратный элемент к ${\displaystyle \varphi }$ – отображение ${\displaystyle z=\varphi ^{-1}(w)}$, обратное к ${\displaystyle w=\varphi (z)}$^[4][11].

Богатство группы голоморфных автоморфизмов некоторой области влечёт богатство биголоморфных отображений на неё любой другой области. Это утверждение следует из следующей теоремы^[11].

Теорема 1. Произвольное фиксированное биголоморфное отображение (голоморфный изоморфизм) ${\displaystyle f\colon D\to G=f(D)}$ задаёт групповой изоморфизм ${\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Aut} D\to \operatorname {Aut} G}$ по следующей формуле^[4]:

${\displaystyle f_{*}\colon \varphi \to f\circ \varphi \circ f^{-1},\quad }$ ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Aut} D.}$

Эта теорема показывает, что условие изоморфности групп ${\displaystyle \operatorname {Aut} D}$ и ${\displaystyle \operatorname {Aut} G}$ голоморфных автоморфизмов необходимо для того, чтобы области ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle G}$ были биголоморфно эквивалентны. Но это условие недостаточно, о чём говорит пример различных плоских колец

${\displaystyle D=\{1<|z|<r_{1}\},\quad }$ ${\displaystyle G=\{1<|z|<r_{2}\},\quad }$ ${\displaystyle r_{1}\neq r_{2},}$

группы автоморфизмов которых изоморфны, но сами они конформно не эквивалентны^[4][12].

Рассмотрим вопрос о дробно-линейности голоморфных автоморфизмов. Для комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$ её произвольный голоморфный автоморфизм дробно-линеен, также как и голоморфный автоморфизм круга ${\displaystyle \{|z|<R\}}$ произвольного радиуса ${\displaystyle R}$^[13][14].

Кроме того, для комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z)}$, ${\displaystyle n>1}$, дробно-линейны голоморфные автоморфизмы ограниченных областей: шаров ${\displaystyle \{|z|<R\}}$ и поликругов ${\displaystyle \{\|z\|<R\}}$ произвольного радиуса ${\displaystyle R}$^[14].

Но при ${\displaystyle n>1}$ расширение указанных областей на всё комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ невозможно, поскольку не существует перехода к пределу при ${\displaystyle R\to \infty }$ из-за того, что имеют место нелинейные голоморфные автоморфизмы, например, треугольное преобразование. При этом для компактифицированных (замкнутых) комплексных пространств ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} ^{n}}}}$ и ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ голоморфные автоморфизмы опять суть дробно-линейные преобразования^[15].

Рассмотрим двумерное комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}(z_{1},\,z_{2})}$^[16].

Треугольное преобразование — преобразование вида

${\displaystyle f\colon (z_{1},\,z_{2})\to (z_{1}+f(z_{2}),\,z_{2}),}$

где ${\displaystyle f(z_{2})}$ — любая целая функция одного переменного^[16][15].

Преобразование, обратное к этому треугольному преобразованию, также есть треугольное преобразование^[16][15]:

${\displaystyle f\colon (w_{1},\,w_{2})\to (w_{1}-f(w_{2}),\,w_{2}).}$

Эти преобразования голоморфны в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, следовательно, указанное треугольное преобразование есть нелинейный голоморфный автоморфизм в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$^[15].

Треугольные преобразования образуют группу. В отличие от одномерного случая — комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, группа биголоморфных преобразований ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ бесконечномерна, поскольку бесконечномерна её подгруппа треугольных преобразований (которых не меньше, чем целых функций, которых не меньше, чем многочленов произвольной степени)^[16].

Рассмотрим в двумерном комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ дробно-линейное преобразование следующего вида^[17]:

${\displaystyle w_{1}={\frac {a_{11}z_{1}+a_{21}z_{2}+b_{1}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+d}}}$, ${\displaystyle w_{2}={\frac {a_{12}z_{1}+a_{22}z_{2}+b_{2}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+d}}}$,

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&b_{1}\\a_{12}&a_{22}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}&d\end{vmatrix}}\neq 0}$.

Для дальнейшего изложения удобнее вложить комплексное аффинное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}=\{(z_{1},\,z_{2})\}}$ в комплексное проективное пространство

${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}=\{(\zeta _{0}:\zeta _{1}:\zeta _{2})\}}$, ${\displaystyle \quad \zeta _{0},\zeta _{1},\zeta _{2}\in \mathbb {C} }$,

${\displaystyle |\zeta _{0}|+|\zeta _{1}|+|\zeta _{2}|\neq 0}$,

${\displaystyle (\zeta _{0}:\zeta _{1}:\zeta _{2})\sim (\lambda \zeta _{0}:\lambda \zeta _{1}:\lambda \zeta _{2})}$, ${\displaystyle \quad \lambda \neq 0}$^[18].

Пусть теперь ${\displaystyle z_{1}={\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}}$, ${\displaystyle z_{2}={\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}}$ — некоторое вложение ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{2}}$. Такое вложение отождествляет подмножество ${\displaystyle (1:\zeta _{1}:\zeta _{2})\subset \mathbb {C} P^{2}}$ с множеством ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. В алгебраической терминологии это означает, что

${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}=(\mathbb {C} ^{3}\setminus \{0\})/{\sim }}$

и, кроме того,

${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}=\mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {C} P^{1}=\mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {C} ^{1}\cup \{\infty \}}$^[19].

Перепишем указанной дробно-линейное преобразование в однородных координатах:

${\displaystyle {\frac {\omega _{1}}{\omega _{0}}}={\frac {a_{11}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+a_{21}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+b_{1}}{c_{1}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+c_{2}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+d}}}$, ${\displaystyle {\frac {\omega _{2}}{\omega _{0}}}={\frac {a_{12}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+a_{22}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+b_{2}}{c_{1}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+c_{2}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+d}}}$,

в матричной форме получим:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega _{0}\\\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&c_{1}&c_{2}\\b_{1}&a_{11}&a_{21}\\b_{2}&a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta _{0}\\\zeta _{1}\\\zeta _{2}\end{pmatrix}}}$,

что означает, что эти дробно-линейные преобразования образуют проективную группу ${\displaystyle PGL_{3}(\mathbb {C} )}$ комплексной размерности 8 комплексного проективного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$. Обобщая, можно сказать, что произвольное преобразование из ${\displaystyle PGL_{n}}$ определяется ${\displaystyle (n+1)}$ точкой. Индекс ${\displaystyle n}$ у группы ${\displaystyle PGL}$ — это размерность объемлющего комплексного пространства, а соответствующее проективное пространство размерности на единицу меньше^[20].

В качестве примера построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\setminus \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{2}\setminus \mathbb {C} }$. Возьмём преобразование

${\displaystyle w_{1}={\frac {2z_{1}}{z_{2}+i}}}$, ${\displaystyle \quad w_{2}={\frac {z_{2}-i}{z_{2}+i}}}$,

обратное ему будет

${\displaystyle z_{1}=-i{\frac {w_{1}}{w_{2}-1}}}$, ${\displaystyle \quad z_{2}=-i{\frac {w_{2}+1}{w_{2}-1}}}$,

причём непосредственно выясняются следующие равнозначности:

${\displaystyle |w_{2}|<1\Leftrightarrow \operatorname {Im} z_{2}>0}$,

${\displaystyle |w_{1}|^{2}+|w_{2}|^{2}<1\Leftrightarrow \operatorname {Im} z_{2}>|z|^{2}}$,

что означает, что построено следующее преобразование^[21]:

${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\setminus \{z_{2}+i=0\}\leftrightarrow \mathbb {C} ^{2}\setminus \{z_{2}-1=0\}}$.

• Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу. М., 2005. 31 с., ил.
• Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика Н. Н. Боголюбова. М.: «Наука», 1964. 411 с.: ил.
• Домрин А. В., Сергеев А. Г. Лекции по комплексному анализу. Второе полугодие. М.: МИАН, 2004. 135 с.: ил. ISBN 5-98419-008-7 (ч. II). ISBN 5-98419-006-0.
• Соломенцев Е. Д. Биголоморфное отображение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 471.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 320 с.: ил.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
• Gunning, R. C.^[англ.] Introduction to holomorphic functions of several variables. Volume I. Function theory. Belmont, California: Wadsworth & Brooks/Cole, 1990. XIX+200 p. ISBN 0-534-13308-8 (v. 1). [Mathematics series.]
• Gunning, R. C.^[англ.] Introduction to holomorphic functions of several variables. Volume II. Local theory. Belmont, California: Wadsworth & Brooks/Cole, 1990. XX+219 p. 1).—ISBN 0-534-13309-6 (v. 2). [Mathematics series.]

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.