Бабий узел (теория узлов)

Бабий узел
Обозначения
Александера–Бриггса[en]	${\displaystyle 3_{1}\#3_{1}}$
Многочлены
Александера	${\displaystyle (t-1+t^{-1})^{2}}$
Джонса	${\displaystyle (q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})^{2}=q^{-2}+2q^{-4}-2q^{-5}+q^{-6}-2q^{-7}+q^{-8}}$
Конвея	${\displaystyle (z^{2}+1)^{2}}$
Инварианты
Число пересечений	6
Число отрезков	8
Свойства
Составной, альтернированный, трёхцветный

В теории узлов бабий узел — это составной узел, полученный соединением двух одинаковых трилистников. Узел тесно связан с прямым узлом, который тоже можно описать как соединение двух трилистников. Поскольку трилистник является простейшим нетривиальным узлом, прямой и бабий узлы являются простейшими составными узлами.

Бабий узел является математической версией бытового бабьего узла.

Построение[править | править код]

Бабий узел можно построить из двух одинаковых трилистников, которые должны быть либо оба левыми, либо оба правыми. Каждый из узлов рассекается и свободные концы попарно соединяются. В результате соединения получаем бабий узел.

Важно, чтобы брались два одинаковых образа трилистника. Если взять два зеркальных трилистника получится прямой узел.

Свойства[править | править код]

• Число пересечений бабьего узла равно шести, что является минимумом для составных узлов.
• В отличие от прямого узла, бабий узел не является ленточным или срезанным.
• Бабий узел является хиральным узлом, т.е. он не эквивалентен своему зеркальному образу.
• Многочлен Александера бабьего узла равен

  ${\displaystyle \Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},}$

• Этот многочлен является квадратом многочлена Александера трилистника.
• Этот многочлен в точности тот же, что и для прямого узла.

• Аналогично, многочлен Александера — Конвея бабьего узла равен

${\displaystyle \nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.}$

• Этот многочлен в точности тот же, что и для прямого узла.

• Многочлен Джонса (правого) бабьего узла равен

  ${\displaystyle V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})^{2}=q^{-2}+2q^{-4}-2q^{-5}+q^{-6}-2q^{-7}+q^{-8}.}$

  • Этот многочлен равен квадрату многочлена Джонса для правого трилистника и он отличается от многочлена Джонса для прямого узла.
• Группа бабьего узла задаётся следующим образом

  ${\displaystyle \langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle }$^[1].

  • Эта группа изоморфна группе прямого узла, и это служит простейшим примером двух различных узлов с изоморфными группами узлов.

См. также[править | править код]

• Двойной узел
• Бабий узел
• Прямой узел (теория узлов)

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология математической теории. — Москва: МЦНМО, 2005. — С. 58. — ISBN 5-94057-220-0.
• С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Математическое просвещение. Сер. 3. — 1999. — С. 72—73.