Diagramă Coxeter–Dynkin

În geometrie, o diagramă Coxeter–Dynkin (sau diagramă Coxeter, graf Coxeter) este un graf cu muchii marcate cu numere (numite ramuri) reprezentând relațiile spațiale dintre o colecție de oglinzi (sau hiperplane de reflexie). Descrie o construcție caleidoscopică: fiecare nod al grafului reprezintă o oglindă (fațetă a domeniului) și eticheta atașată unei ramuri codifică ordinul unghiului diedru între două oglinzi (pe o față a domeniului), care este raportul dintre 180° și unghiul dintre planele oglinzilor. O ramură neetichetată reprezintă implicit ordinul 3 (60°).

Fiecare diagramă reprezintă un grup Coxeter, iar grupurile Coxeter sunt clasificate după diagramele lor asociate.

Diagramele Dynkin sunt obiecte strâns legate, care diferă de diagramele Coxeter în două privințe: în primul rând, ramurile etichetate cu "4" sau mai mult sunt orientate, în timp ce diagramele Coxeter sunt neorientate; în al doilea rând, diagramele Dynkin trebuie să satisfacă o restricție suplimentară (cristalografică), și anume că singurele etichete permise ale ramurilor sunt 2, 3, 4 și 6. Diagramele Dynkin corespund și sunt utilizate pentru a clasifica sistemele de rădăcini și, prin urmare, algebra Lie semisimplă.^[1]

Descriere[modificare | modificare sursă]

Ramurile unei diagrame Coxeter–Dynkin sunt etichetate cu un număr rațional p, reprezentând un unghi diedru de 180°/p. p = 2 unghiul este de 90° și oglinzile nu au nicio interacțiune, astfel încât ramura poate fi omisă din diagramă. Dacă o ramură este nemarcată, se presupune că are p = 3, reprezentând un unghi de 60°. Două oglinzi paralele au o ramură marcată cu "∞". În principiu, n oglinzi pot fi reprezentate printr-un graf complet în care sunt trasate toate cele n(n − 1) / 2 ramuri. În practică, aproape toate configurațiile interesante ale oglinzilor includ un număr de unghiuri drepte, astfel încât ramurile corespunzătoare sunt omise.

Diagramele pot fi etichetate după structura grafului lor. Primele forme studiate de Ludwig Schläfli sunt ortoscheme care au grafuri liniare care generează politopuri regulate și faguri regulați. Plagioschemele sunt simplexuri reprezentate prin grafuri ramificate, iar cicloschemele sunt simplexuri reprezentate prin grafuri ciclice.

Matricea Schläfli[modificare | modificare sursă]

Orice diagramă Coxeter are o matrice Schläfli corespunzătoare (așa numită după Ludwig Schläfli), cu elementele a_i,j = a_j,i = −2cos (π / p) unde p este ordinul ramurilor dintre perechile de oglinzi. Ca matrice de cosinusuri, este numită și matrice Gramian după Jørgen Pedersen Gram. Toate matricile Schläfli ale grupurilor Coxeter sunt simetrice deoarece vectorii lor rădăcină sunt normalizați. Este legată îndeaproape de matricea Cartan, utilizată în graful similar dar orientat, diagrama Dynkin în cazurile cu p = 2, 3, 4 și 6, care NU sunt simetrice în general.

Determinantul matricei Schläfli, numit Schläflian, și semnul său determină dacă grupul este finit (pozitiv), afin (zero) sau nedefinit (negativ). Această regulă se numește Criteriul lui Schläfli.^[2]

Valorile proprii ale matricei Schläfli determină dacă un grup Coxeter este de tip finit (toate pozitive), de tip afin (toate nenegative, cel puțin una fiind zero) sau de tip nedefinit (altfel). Tipul nedefinit este uneori subdivizat, de ex. în grupuri Coxeter hiperbolice și alte grupuri Coxeter. Totuși, există mai multe definiții neechivalente pentru grupurile Coxeter hiperbolice. În articol se folosește următoarea definiție: Un grup Coxeter cu diagramă conectată este hiperbolic dacă nu este nici de tip finit, nici afin, dar fiecare subdiagramă conectată adecvat este de tip finit sau afin. Un grup Coxeter hiperbolic este compact dacă toate subgrupurile sunt finite (adică au determinanți pozitivi) și paracompact dacă toate subgrupurile sale sunt finite sau afine (adică au determinanți negativi).

Grupurile finite și afine sunt numite și eliptice, respectiv parabolice. Grupurile hiperbolice se mai numesc și Lannér, după F. Lannér care a enumerat grupurile hiperbolice compacte în 1950,^[3] și Koszul (sau cvasi-Lannér) pentru grupurile paracompacte.

Grupuri Coxeter de ordinul 2[modificare | modificare sursă]

La ordinul 2, tipul unui grup Coxeter este complet determinat de determinantul matricei Schläfli, deoarece este pur și simplu produsul valorilor proprii: tip finit (determinant pozitiv), tip afin (determinant zero) sau hiperbolic (determinant negativ). Coxeter folosește o notație cu paranteze echivalentă care afișează o secvență cu ordinea ramurilor ca înlocuitor pentru diagramele grafice nod-ramură. Există și soluții raționale [p/q], , cu cmmdc(p, q) = 1, care definesc domenii fundamentale suprapuse. De exemplu, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. și 6/5.

Tip	Finit					Afin	Hiperbolic
Geometrie					...
Coxeter	[ ]	[2]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[iπ/λ]
Ordin	2	4	6	8	2p	∞
Liniile de reflexie sunt colorate pentru a corespunde nodurilor diagramei Coxeter. Domeniile fundamentale sunt colorate alternativ.

Grupuri Coxeter de ordinul 2
Ordin p	Grup	diagramă Coxeter		matrice Schläfli
				${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$	Determinant (4-a21*a12)
Finite (determinant > 0)
2	I2(2) = A1xA1		[2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	4
3	I2(3) = A2		[3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	3
3/2			[3/2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
4	I2(4) = B2		[4]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	2
4/3			[4/3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$
5	I2(5) = H2		[5]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-\phi \\-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/2}$ ~1.38196601125
5/4			[5/4]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\phi \\\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$
5/2			[5/2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1-\phi \\1-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (5+{\sqrt {5}})/2}$ ~3.61803398875
5/3			[5/3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\phi -1\\\phi -1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
6	I2(6) = G2		[6]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	1
6/5			[6/5]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$
8	I2(8)		[8]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {2}}}$ ~0.58578643763
10	I2(10)		[10]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\\-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (3-{\sqrt {5}})/2}$ ~0.38196601125
12	I2(12)		[12]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$ ~0.26794919243
p	I2(p)		[p]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /p)\\-2\cos(\pi /p)&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 4\sin ^{2}(\pi /p)}$
Afin (determinant = 0)
∞	I2(∞) = ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ = ${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}$		[∞]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0
Hiperbolice (determinant ≤ 0)
∞			[∞]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0
∞			[iπ/λ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2cosh(2\lambda )\\-2cosh(2\lambda )&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle -4\sinh ^{2}(2\lambda )\leq 0}$

Vizualizări geometrice[modificare | modificare sursă]

Diagrama Coxeter–Dynkin poate fi văzută ca o descriere grafică a domeniului fundamental al oglinzilor. O oglindă reprezintă un hiperplan într-un spațiu dimensional sferic sau euclidian sau hiperbolic dat. (În spațiile 2D, o oglindă este o dreaptă, iar în 3D o oglindă este un plan).

Aceste vizualizări arată domeniile fundamentale pentru grupurile euclidiene 2D și 3D, și grupurile sferice 2D. Pentru fiecare diagrama Coxeter poate fi dedusă prin identificarea hiperplanelor oglindă și etichetarea conectivității acestora, ignorând unghiurile diedrice de 90° (ordinul 2).

Grupuri Coxeter în planul euclidian cu diagrame echivalente. Reflexiile sunt etichetate ca noduri ale grafurilor: R1, R2 etc. și sunt colorate după ordinea lor de reflexie. Reflexiile la 90° sunt inactive, prin urmare sunt eliminate din diagramă. Oglinzile paralele sunt conectate printr-o ramură etichetată ∞. Grupul prismatic ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$x${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ este afișat ca o dublare a ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$, dar pot fi create și ca domenii dreptunghiulare de la dublarea triunghiurilor ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$. ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ este o dublare a triunghiului ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$.
Multe grupuri Coxeter din planul hiperbolic pot fi obținute din cazurile euclidiene ca o serie de soluții hiperbolice.
Grupuri Coxeter în spațiul tridimensional cu diagrame. Oglinzile (fețele triunghiului) sunt etichetate de vârful opus 0..3. Ramurile sunt colorate după ordinea lor de reflexie. ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ umple 1/48 din cub. ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ umple 1/24 din cub. ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$ umple 1/12 din cub.	Grupuri Coxeter în sferă cu diagrame echivalente. Un domeniu fundamental este conturat în galben. Vârfurile domeniului (și ramurile grafurilor) sunt colorate după ordinea lor de reflexie.

Grupuri Coxeter finite[modificare | modificare sursă]

• Trei simboluri diferite sunt date pentru aceleași grupuri — ca literă/număr, ca set de numere între paranteze și ca diagramă Coxeter.
• Grupurile bifurcate D_n sunt versiunea înjumătățită sau alternată a grupurilor regulate C_n.
• Grupurile bifurcate D_n și E_n sunt, de asemenea, etichetate cu o notație cu exponenți [3^a,b,c] undea,b,csunt numărul de segmente din fiecare din cele trei ramuri.

Diagramele Coxeter–Dynkin finite conectate (de ordinul 1 la 9)

Ordin	Grupuri Lie simple			Grupuri Lie excepționale
	${\displaystyle {A}_{1+}}$	${\displaystyle {B}_{2+}}$	${\displaystyle {D}_{2+}}$	${\displaystyle {E}_{3-8}}$	${\displaystyle {F}_{3-4}}$	${\displaystyle {G}_{2}}$	${\displaystyle {H}_{2-4}}$	${\displaystyle {I}_{2}(p)}$
1	A1=[ ]
2	A2=[3]	B2=[4]	D2=A1A1			G2=[6]	H2=[5]	I2[p]
3	A3=[32]	B3=[3,4]	D3=A3	E3=A2A1	F3=B3		H3
4	A4=[33]	B4=[32,4]	D4=[31,1,1]	E4=A4	F4		H4
5	A5=[34]	B5=[33,4]	D5=[32,1,1]	E5=D5
6	A6=[35]	B6=[34,4]	D6=[33,1,1]	E6=[32,2,1]
7	A7=[36]	B7=[35,4]	D7=[34,1,1]	E7=[33,2,1]
8	A8=[37]	B8=[36,4]	D8=[35,1,1]	E8=[34,2,1]
9	A9=[38]	B9=[37,4]	D9=[36,1,1]
10+	...	...	...	...

Aplicarea la politopuri uniforme[modificare | modificare sursă]

La construcția politopurilor uniforme, nodurile sunt marcate ca active de un inel dacă punctul generator se află în afara oglinzii, creând o nouă latură între punctul generator și imaginea sa oglindă. Un nod fără inel reprezintă o oglindă inactivă care nu generează puncte noi. Un inel fără nod se numește gaură.

Două oglinzi ortogonale pot fi utilizate pentru a genera un pătrat, , marcat aici cu un punct roșu generator și 3 copii virtuale în oglinzi. Generatorul trebuie să fie dezactivat de ambele oglinzi în acest caz ortogonal pentru a genera un interior. Marcarea inelului presupune că inelele active au generatoare la distanță egală de toate oglinzile, în timp ce un dreptunghi poate reprezenta și o soluție neuniformă.

Diagramele Coxeter–Dynkin pot descrie în mod explicit aproape toate clasele de politopuri uniforme și teselări uniforme. Fiecare politop uniform cu simetrie de reflexie pură (toate, cu excepția câtorva cazuri particulare, au simetrie de reflexie pură) poate fi reprezentat printr-o diagramă Coxeter–Dynkin cu permutări ale notațiilor. Fiecare politop uniform poate fi generat folosind astfel de oglinzi și un singur punct generator: imaginile în oglindă creează puncte noi ca reflexii, apoi laturile politopului pot fi definite între puncte și punctele imagini în oglindă. Fețele sunt generate de reflectarea repetată a unei laturi care eventual se înfășoară în jurul punctului generator inițial; forma finală, precum și orice fațete din dimensiunile superioare, sunt create în mod similar prin reflectarea feței pentru a închide o zonă.

Pentru a specifica vârful generator, unul sau mai multe noduri sunt marcate cu inele, ceea ce înseamnă că vârful nu este pe oglinzile reprezentate de nodul/nodurile inelate. (Dacă sunt marcate două sau mai multe oglinzi, vârful este echidistant de ele.) O oglindă este activă (creează reflexii) numai pentru punctele care nu se află pe ea. O diagramă are nevoie de cel puțin un nod activ pentru a reprezenta un politop. O diagramă neconectată (subgrupuri separate prin ramuri de ordinul 2 sau oglinzi ortogonale) necesită cel puțin un nod activ în fiecare subgraf.

Toate politopurile regulate, reprezentate prin simbolul Schläfli ${\displaystyle \left\{p,q,r,...\right\}\,}$, pot avea domeniile lor fundamentale reprezentate de un set de n oglinzi cu o diagramă Coxeter–Dynkin aferentă a unei linii de noduri și ramuri etichetate cu ${\displaystyle p,q,r,...\,}$ cu primul nod inelat.

Politopurile uniforme cu un inel corespund punctelor generatoare în colțurile simplexului domeniului fundamental. Două inele corespund laturilor simplexului și au un grad de libertate, cu doar punctul de mijloc ca soluție uniformă pentru lungimi ale laturilor egale. În general k-punctele generatoare inelate sunt pe (k–1)-fețele simplexului, iar dacă toate nodurile sunt inelate, punctul generator se află în interiorul simplexului.

Cazul particular al politopurilor uniforme cu simetrie nereflexivă este reprezentat de un marcaj secundar în care punctul central al unui nod inelat este eliminat (numit gaură). Aceste forme sunt alternări ale politopurilor cu simetrie de reflexie, ceea ce înseamnă că nodurile alternate sunt șterse. Politopul rezultat va avea o subsimetrie a grupului Coxeter inițial. O alternare trunchiată se numește snub.

Există 7 construcții uniforme reflexive pe baza unui triunghi general, bazate pe 7 poziții generatoare topologice în domeniul fundamental. Fiecare oglindă activă generează o latură, cu două oglinzi active există generatoare pe laturile domeniului și cu trei oglinzi active generatorul este în interior. Unul sau două grade de libertate pot fi tratate astfel încât poziția rezultată să genereze laturi egale ale poliedrului sau ale plăcilor rezultate.

Exemple: 7 generatoare pe simetrie octaedrică, cu domeniul fundamental triunghiul (4 3 2), cu a 8-a generare snub ca alternare.

• Un singur nod reprezintă o singură oglindă. Aceasta se numește grupul A₁. Dacă este inelat, el creează un segment de dreaptă perpendicular pe oglindă, reprezentat ca {}.
• Două noduri neconectate reprezintă două oglinzi perpendiculare. Dacă ambele noduri sunt inelate, se poate crea un dreptunghi sau, dacă punctul este la distanță egală de ambele oglinzi, un pătrat.
• Două noduri conectate printr-o ramură de ordinul n poate crea un n-gon dacă punctul este pe o singură oglindă și un 2n-gon dacă punctul este în afara ambelor oglinzi. Aceasta formează grupul I₁(n).
• Două oglinzi paralele pot reprezenta un grup poligonal infinit I₁(∞), numit și Ĩ₁.
• Trei oglinzi dispuse într-un triunghi formează imagini ca acelea văzute într-un caleidoscop tradițional și pot fi reprezentate prin trei noduri conectate într-un triunghi. Exemplele repetate vor avea ramuri etichetate ca (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), deși ultimele două pot fi trasate ca o linie (cu ramurile 2 ignorate). Acestea vor genera pavări uniforme.
• Trei oglinzi pot genera poliedre uniforme (cu simetrie octaedrică Oh); numerele raționale oferă mulțimea triunghiurilor Schwarz.
• Trei oglinzi cu una perpendiculară pe celelalte două pot forma prisme uniforme.

Dualele politopurilor uniforme sunt uneori marcate cu o bară perpendiculară care înlocuiește nodurile inelate și o gaură barată pentru găurile nodurilor snub. De exemplu, reprezintă un dreptunghi (prin două oglinzi ortogonale active), iar reprezintă poligonul său dual, rombul.

Exemple de poliedre și pavări[modificare | modificare sursă]

De exemplu, grupul Coxeter B₃ are diagrama: . Aceasta este numită și simetrie octaedrică.

Există 7 poliedre uniforme convexe care pot fi construite din acest grup de simetrie și 3 din subsimetriile sale alternate, fiecare cu o diagramă Coxeter–Dynkin marcată în mod unic. Simbolul Wythoff reprezintă un caz special al diagramei Coxeter pentru grafurile de ordinul 3, cu toate cele 3 ordine ale ramurilor denumite, în loc de suprimarea ramurilor de ordinul 2. Simbolul Wythoff este capabil să gestioneze forma snub, dar nu alternări generale fără toate nodurile inelate.

Poliedre octaedrice uniforme     v • d • m
Simetrie: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= sau	= sau	=
Dualele celor de mai sus
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Aceleași construcții pot fi făcute pe grupuri Coxeter disjuncte (ortogonale), cum ar fi prismele uniforme, și pot fi văzute mai clar ca pavări sferice ale diedrelor și hosoedrelor, ca familia [6]×[] sau [6.2]:

Poliedre sferice diedrice hexagonale uniforme     v • d • m
Simetrie: [6,2], (*622)							[6,2]+, (622)	[6,2+], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Dualele celor de mai sus
V62	V122	V62	V4.4.6	V26	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Prin comparație, familia [6,3], produce un set paralel de 7 pavări uniforme ale planului euclidian și pavările lor duale. Există din nou 3 alternări și unele versiuni cu simetria la jumătate.

Pavări hexagonale/triunghiulare uniforme     v • d • m
Simetrie: [6,3], (*632)							[6,3]+ (632)	[6,3+] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}
63	3.122	(3.6)2	6.6.6	36	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Dualele celor de mai sus
V63	V3.122	V(3.6)2	V63	V36	V3.4.6.4	V.4.6.12	V34.6	V36

În planul hiperbolic [7,3], familia produce un set paralel de pavări uniforme și pavările lor duale. Există doar o singură alternare snub deoarece toate ordinele ramurilor sunt impare. Există multe alte familii de pavări uniforme în planul hiperbolic.

Pavări heptagonale/triunghiulare uniforme     v • d • m
Simetrie: [7,3], (*732)							[7,3]+, (732)
{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	t{3,7}	{3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
Dualele celor de mai sus
V73	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V37	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Grupuri Coxeter afine[modificare | modificare sursă]

Familii de teselări euclidiene uniforme convexe sunt definite de grupurile Coxeter afine. Aceste grupuri sunt identice cu grupurile finite, cu adăugarea unui nod. În notațiile literale li se dă aceeași literă cu o „~” deasupra literei. Indicele se referă la grupul finit, deci ordinul este indicele plus 1. (Simbolurile Ernst Witt pentru grupurile afine sunt menționate în lista următoare în paranteze.)

1. ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$: diagramele de acest tip sunt cicluri. (P_n)
2. ${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$ este asociat cu familia teselărilor regulate hipercubice ${\displaystyle \left\{p,q,r,...\right\}\,}$. (R_n)
3. ${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$ este legat de C, fără una dintre oglinzi. (S_n)
4. ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$ este legat de C, fără două dintre oglinzi. (Q_n)
5. ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$. (T₇, T₈, T₉)
6. ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ formează teselarea regulată {3,4,3,3}. (U₅)
7. ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ formează domeniile fundamentale triunghiulare 30-60-90. (V₃)
8. ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ = ${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}$ = ${\displaystyle {\tilde {C}}_{1}}$ sunt două oglinzi paralele. (W₂)

De asemenea, grupurile compuse pot fi definite ca proiecții ortogonale. Cea mai obișnuită utilizare ${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}$, ca și ${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}^{2}}$, reprezintă domenii pătrate sau dreptunghiulare în formă de tablă de șah în planul euclidian. Iar ${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}{\tilde {G}}_{2}}$ reprezintă domeniile fundamentale al prismei triunghiulare în spațiul euclidian tridimensional.

Grafuri Coxeter afine pentru 2–10 noduri

Ordin	${\displaystyle {\tilde {A}}_{1+}}$ (P2+)	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3+}}$ (S4+)	${\displaystyle {\tilde {C}}_{1+}}$ (R2+)	${\displaystyle {\tilde {D}}_{4+}}$ (Q5+)	${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}}$ (Tn+1) / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ (U5) / ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ (V3)
2	${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}$=[∞]		${\displaystyle {\tilde {C}}_{1}}$=[∞]
3	${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$=[3[3]] *		${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$=[4,4] *		${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$=[6,3] *
4	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$=[3[4]] *	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$=[4,31,1] *	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$=[4,3,4] *	${\displaystyle {\tilde {D}}_{3}}$=[31,1,3−1,31,1] = ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
5	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$=[3[5]] *	${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$=[4,3,31,1] *	${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$=[4,32,4] *	${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$=[31,1,1,1] *	${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$=[3,4,3,3] *
6	${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}}$=[3[6]] *	${\displaystyle {\tilde {B}}_{5}}$=[4,32,31,1] *	${\displaystyle {\tilde {C}}_{5}}$=[4,33,4] *	${\displaystyle {\tilde {D}}_{5}}$=[31,1,3,31,1] *
7	${\displaystyle {\tilde {A}}_{6}}$=[3[7]] *	${\displaystyle {\tilde {B}}_{6}}$=[4,33,31,1]	${\displaystyle {\tilde {C}}_{6}}$=[4,34,4]	${\displaystyle {\tilde {D}}_{6}}$=[31,1,32,31,1]	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$=[32,2,2]
8	${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$=[3[8]] *	${\displaystyle {\tilde {B}}_{7}}$=[4,34,31,1] *	${\displaystyle {\tilde {C}}_{7}}$=[4,35,4]	${\displaystyle {\tilde {D}}_{7}}$=[31,1,33,31,1] *	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$=[33,3,1] *
9	${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$=[3[9]] *	${\displaystyle {\tilde {B}}_{8}}$=[4,35,31,1]	${\displaystyle {\tilde {C}}_{8}}$=[4,36,4]	${\displaystyle {\tilde {D}}_{8}}$=[31,1,34,31,1]	${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$=[35,2,1] *
10	${\displaystyle {\tilde {A}}_{9}}$=[3[10]] *	${\displaystyle {\tilde {B}}_{9}}$=[4,36,31,1]	${\displaystyle {\tilde {C}}_{9}}$=[4,37,4]	${\displaystyle {\tilde {D}}_{9}}$=[31,1,35,31,1]
11	...	...	...	...

Grupuri Coxeter hiperbolice[modificare | modificare sursă]

Există multe grupuri Coxeter hiperbolice infinite. Grupurile hiperbolice sunt clasificate ca fiind compacte sau nu, grupurile compacte având domenii fundamentale delimitate. Grupurile hiperbolice compacte de simplexuri (simplexuri Lannér) există de ordinele 3 – 5. Grupurile paracompacte de simplexuri (simplexuri Koszul) există până la ordinul 10. Grupurile hipercompacte (politopurile Vinberg) au fost explorate, dar nu sunt explorate complet. În 2006, Allcock a demonstrat că există infinit de multe politopuri Vinberg compacte pentru dimensiuni până la 6 și infinit de multe politopuri Vinberg cu volum finit pentru dimensiuni până la 19,^[4] astfel că o enumerare completă nu este posibilă. Toate aceste domenii reflexive fundamentale, atât simpliciale cât și nesimpliciale, sunt adesea numite politopuri Coxeter sau uneori mai puțin precis poliedre Coxeter.

Grupuri hiperbolice în H²[modificare | modificare sursă]

Modelul discului Poincaré, domeniul fundamental triunghiuri

Exemple cu triunghiuri dreptunghice [p,q]
[3,7]	[3,8]	[3,9]	[3,∞]
[4,5]	[4,6]	[4,7]	[4,8]	[∞,4]
× × €4.95 / month Favourites List Audio Listining Color Mode Monthly New Updates Fullname * Email * Credit or debit card Subscribe A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: userid Filename: user/popup_modal.php Line Number: 68 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Line: 68 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once "> Subscribe Now × €4.95 € 9.90 / Modal title × Close Save changes × Diagramă_Coxeter–Dynkin" id="cancelSubscription" name="cancelSubscription" class="mb-0"> A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: user_membership Filename: user/popup_modal.php Line Number: 192 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Line: 192 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Warning Message: Invalid argument supplied for foreach() Filename: user/popup_modal.php Line Number: 192 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Line: 192 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: userid Filename: user/popup_modal.php Line Number: 208 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Line: 208 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once "> Harry Potter Books × A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: products Filename: user/popup_harry_book.php Line Number: 24 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_harry_book.php Line: 24 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 479 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Warning Message: Invalid argument supplied for foreach() Filename: user/popup_harry_book.php Line Number: 24 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_harry_book.php Line: 24 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 479 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once