Regra de Cramer para os inteiros A regra de Cramer é um teorema em álgebra linear , que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes . Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752).[ 1] [ 2]
Se A x → = b → {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}} é um sistema de n {\displaystyle n} equações e n {\displaystyle n} incógnitas. (Onde A {\displaystyle A} é a matriz de coeficientes do sistema e o seu determinante é diferente de zero, x → {\displaystyle {\vec {x}}} é o vetor coluna das incógnitas e b → {\displaystyle {\vec {b}}} é o vetor coluna dos termos independentes)
Então ∀ j , 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle \forall j,1\leq j\leq n} , a solução do sistema x j {\displaystyle x_{j}} é dada por:
x j = | A j | | A | = d e t ( A j ) d e t ( A ) {\displaystyle x_{j}={\left|A_{j}\right| \over \left|A\right|}={det(A_{j}) \over det(A)}} Em que Aj é a matriz que se obtém da matriz A substituindo a coluna j pela coluna dos termos independentes b.
Sejam os vetores x → = ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}} e b → = ( b 1 ⋮ b n ) {\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}} e a matriz A = [ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}} .
Seja ainda a matriz A j {\displaystyle A_{j}} , obtida pela substituição da coluna j {\displaystyle j} pelo vetor b → {\displaystyle {\vec {b}}} , tal que
A j = [ a 11 ⋯ a 1 j − 1 b 1 a 1 j + 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ a n − 1 n a n 1 ⋯ a n j − 1 b n a n j + 1 ⋯ a n n ] {\displaystyle A_{j}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j-1}&b_{1}&a_{1j+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\ddots &&&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\vdots &&&\ddots &&&\vdots \\\vdots &&&&\ddots &&\vdots \\\vdots &&&&&\ddots &a_{n-1n}\\a_{n1}&\cdots &a_{nj-1}&b_{n}&a_{nj+1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}} . Usando as propriedades da multiplicação de matrizes :
A x → = b → ⇔ A − 1 A x → = A − 1 b → ⇔ I x → = A − 1 b → ⇔ x → = A − 1 b → {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}\Leftrightarrow A^{-1}A{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow I{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}}
então:
x → = A − 1 b → = ( Adj A ) | A | b → {\displaystyle {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}={\frac {(\operatorname {Adj} A)}{\left|A\right|}}{\vec {b}}} Sejam:
A − 1 b → = p j k {\displaystyle A^{-1}{\vec {b}}=p_{jk}} ( Adj A ) = A p l ′ A p l ′ = A l p {\displaystyle (\operatorname {Adj} A)={\frac {A_{pl}^{\prime }}{A_{pl}^{\prime }}}=A_{lp}} Portanto:
A − 1 b → = p j k = ∑ i = 1 n A j i ′ | A | b i k = ∑ i = 1 n A i j b i | A | = ( 1 ) | A j | | A | {\displaystyle A^{-1}{\vec {b}}=p_{jk}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{ji}^{\prime }}{\left|A\right|}}b_{ik}={\frac {\sum _{i=1}^{n}A_{ij}b_{i}}{\left|A\right|}}=_{\rm {(1)}}{\left|A_{j}\right| \over \left|A\right|}} (1) Recordando a definição de determinante , o somatório definido acumula a multiplicação do elemento adjunto o cofator da posição ij, com o elemento i-ésimo do vetor B (que é precisamente o elemento i-ésimo da coluna j, na matriz A j {\displaystyle A_{j}}
Um bom exemplo é a resolução de um simples sistema de equações 2x2:
Dado
3 x + 1 y = 9 {\displaystyle 3x+1y=9\,} 2 x + 3 y = 13 {\displaystyle 2x+3y=13\,} que em forma matricial é:
[ 3 1 2 3 ] [ x y ] = [ 9 13 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}9}\\{\color {red}13}\end{bmatrix}}} x e y podem ser calculados usando a regra de Cramer
x = | 9 1 13 3 | | 3 1 2 3 | = 9 ∗ 3 − 1 ∗ 13 3 ∗ 3 − 1 ∗ 2 = 2 {\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}9}&1\\{\color {red}13}&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9*3-1*13 \over 3*3-1*2}=2} y = | 3 9 2 13 | | 3 1 2 3 | = 3 ∗ 13 − 9 ∗ 2 3 ∗ 3 − 1 ∗ 2 = 3 {\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}3&{\color {red}9}\\2&{\color {red}13}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3*13-9*2 \over 3*3-1*2}=3} Referências Callioli, Carlos A.; Domingues, Hygino H.; Costa, Roberto C.F. (2003). Álgebra Linear e Aplicações . [S.l.]: Atual. 352 páginas. ISBN 8570562977 Boldrini; Costa e Fiqueiredo; Wetzler (1986). Álgebra Linear 3ª ed. [S.l.]: Harbra. 412 páginas. ISBN 9788529402024 Leon, Stevan J. (2011). Álgebra Linear e Suas Aplicações 8ª ed. [S.l.]: LTC. 504 páginas. ISBN 8521611560