Raio de curvatura

Na geometria diferencial, o raio de curvatura, $R$ , é o recíproco da curvatura . Para uma curva, é igual ao raio do arco circular que melhor se aproxima da curva naquele ponto. Para superfícies, o raio de curvatura é o raio de um círculo que melhor se ajusta a uma seção normal ou a suas combinações .^[1]^[2]^[3]

Definição[editar | editar código-fonte]

O raio de curvatura é uma magnitude que mede a curvatura de um objeto geométrico tal como uma linha curva, uma superfície ou mais genericamente uma variedade diferenciável imersa em um espaço euclidiano.

O raio de curvatura é matematicamente descrito por

R={\frac {1}{|k|}}

onde $k$ é a curvatura de uma determinada função.

Se a curva é dada em coordenadas cartesianas como $y=f(x)$ , e diferenciável pelo menos duas vezes, então o raio de curvatura é dado por^[4]

R=\left|{\frac {(1+y'^{2})^{3/2}}{y''}}\right|

onde $y'={\frac {dy}{dx}}$ e $y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$
Caso a curva seja definida em equações paramétricas como $x(t)$ e $y(t)$ , então o raio de curvatura é dado por

R={\frac {(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}{|x'y''-y'x''|}}

onde $y'={\frac {dy}{dt}}$ e $x'={\frac {dx}{dt}}$ , e também $x''={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ e $y''={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$
Em notação vetorial, pode-se interpretar a definição acima como

R={\frac {\left|\mathbf {r'} \right|^{3}}{\left|\mathbf {r'} \times \mathbf {r''} \right|}}

onde $\mathbf {r}$ é uma função vetorial definida por funções escalares de parâmetro $t$ nas direções dos eixos de um sistema de coordenadas retangulares.

Fórmula[editar | editar código-fonte]

Se $γ : ℝ \to ℝ n$ é uma curva parametrizada em $ℝ n$ então o raio de curvatura em cada ponto da curva, $ρ : ℝ \to ℝ$ , é dado por ^[3]

\rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}

Como um caso especial, se

f (t)

é uma função de

ℝ

a

ℝ

, então o raio de curvatura de seu gráfico,

γ (t) = (t, f (t))

, é:

\rho (t)={\frac {\left|1+\{[f(t)]'\}^{2}\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.

Derivação

Seja $γ$ como acima, e corrija $t$ . Queremos encontrar o raio $ρ$ de um círculo parametrizado que corresponda a $γ$ em suas derivadas zero, primeira e segunda em $t$ . Claramente, o raio não dependerá da posição $γ (t)$ , apenas da velocidade $γ'(t)$ e da aceleração $γ ″(t)$ . Existem apenas três escalares independentes que podem ser obtidos a partir de dois vetores $v$ e $w$ , a saber $v \cdot v$ , $v \cdot w$ e $w \cdot w$ . Assim o raio de curvatura deve ser a função de três escalares | $γ'(t)$ |², | $γ ″(t)$ |² e $γ'(t) \cdot γ ″(t)$ .^[5]

A equação geral para um círculo parametrizado em is $ℝ n$ é

\mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos h(u)+\mathbf {b} \sin h(u)+\mathbf {c}

onde

c \in ℝ n

é o centro do círculo (irrelevante, pois desaparece nas derivadas),

a, b \in ℝ n

são vetores perpendiculares de comprimento

ρ

(ou seja,

a \cdot a = b \cdot b = ρ

² e

a \cdot b = 0

)

h : ℝ \to ℝ

é uma função arbitrária que é duas vezes diferencial em

t

.

Os derivados relevantes de $g$ calculam-se como

{\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}

Se agora igualarmos essas derivadas de $g$ às derivadas correspondentes de $γ$ at $t$ , obtemos

{\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}

Essas três equações em três incógnitas ( $ρ$ , $h'(t)$ e $h ″(t)$ ) podem ser resolvidas para $ρ$ , fornecendo a fórmula para o raio de curvatura:

$\rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}$

ou, omitindo o parâmetro $t$ para facilitar a leitura,

\rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Semicírculos e círculos[editar | editar código-fonte]

$y={\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad y'={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},\quad y''={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad R=|-a|=a.$

Para um semicírculo de raio $a$ no semiplano inferior

y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad R=|a|=a.

O círculo de raio

a

tem um raio de curvatura igual a

a

.

Elipses[editar | editar código-fonte]

Em uma elipse com o eixo maior $2 a$ e o eixo menor $2 b$ , os vértices no eixo principal têm o menor raio de curvatura de qualquer ponto, $R = b 2 a$ ; e os vértices no eixo menor têm o maior raio de curvatura de qualquer ponto, $R = a 2 b$ .

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Geometria diferencial , consulte equação de Cesàro.
Raio de curvatura da terra (aproximado por um elipsóide oblato), consulte Raio de curvatura da terra.
Equações de flexão de vigas.
Lentes e espelhos esféricos.

Estresse em estruturas semicondutores[editar | editar código-fonte]

O estresse na estrutura do semicondutor envolvendo filmes finos evaporados geralmente resulta da expansão térmica (estresse térmico) durante o processo de fabricação. O estresse térmico ocorre porque as deposições dos filmes geralmente são feitas acima da temperatura ambiente.Após o resfriamento da temperatura de deposição para a temperatura ambiente, a diferença nos coeficientes de expansão térmica do substrato e do filme causa estresse térmico.

O estresse intrínseco resulta da microestrutura criada no filme à medida que os átomos são depositados no substrato. O estresse elástico resulta dos micro vazios no filme fino, devido à interação atraente dos átomos através dos vazios.^[6]

O estresse nas estruturas de semicondutores de película fina resulta na flambagem das bolachas. O raio da curvatura da estrutura tensionada está relacionado ao tensor de tensão na estrutura e pode ser descrito pela fórmula de Stoney modificada.^[7] A topografia da estrutura tensionada, incluindo raios de curvatura, pode ser medida usando métodos de scanner óptico. As modernas ferramentas de scanner têm a capacidade de medir a topografia completa do substrato e medir os dois principais raios de curvatura, fornecendo a precisão da ordem de 0,1% para raios de curvatura de 90 metros ou mais.^[8]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

↑ Weisstien. «Radius of Curvature». Wolfram Mathworld |nome3= sem |sobrenome3= em Authors list (ajuda)
↑ Kishan, Hari (2007). Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist (em inglês). [S.l.: s.n.] ISBN 9788126908202
↑ ^a ^b Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus. MacMillan (em inglês) Sixth ed. New York: [s.n.]
↑ http://mathworld.wolfram.com/RadiusofCurvature.html
↑ Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (em inglês) Sixth ed. New York: MacMillan
↑ «Controlling Stress in Thin Films». Flipchips.com. Consultado em 22 de abril de 2016
↑ «On the determination of film stress from substrate bending : Stoney's formula and its limits» (PDF). Qucosa.de
↑ Peter Walecki. «Model X». Zebraoptical.com

Leitura adicional[editar | editar código-fonte]

do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-212589-7

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

The Geometry Center: Principal Curvatures
15.3 Curvature and Radius of Curvature
Weisstein, Eric W. «Principal Curvatures» (em inglês). MathWorld
Weisstein, Eric W. «Principal Radius of Curvature» (em inglês). MathWorld

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[1] Weisstien. «Radius of Curvature». Wolfram Mathworld |nome3= sem |sobrenome3= em Authors list (ajuda)

[:0-2] Kishan, Hari (2007). Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist (em inglês). [S.l.: s.n.] ISBN 9788126908202

[:12-3] Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus. MacMillan (em inglês) Sixth ed. New York: [s.n.]

[4] ttp://mathworld.wolfram.com/RadiusofCurvature.html

[:13-5] Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (em inglês) Sixth ed. New York: MacMillan

[6] «Controlling Stress in Thin Films». Flipchips.com. Consultado em 22 de abril de 2016

[7] «On the determination of film stress from substrate bending : Stoney's formula and its limits» (PDF). Qucosa.de

[8] Peter Walecki. «Model X». Zebraoptical.com

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v d e Várias noções de curvatura definida em geometria diferencial
Geometria diferencial de curvas	Curvatura Torsão de uma curva Fórmulas de Frenet–Serret Raio de curvatura Curvatura afim Curvatura total Curvatura total absoluta
Geometria diferencial de superfícies	Curvatura principal Curvatura gaussiana Curvatura média Darboux frame Equações de Gauss–Codazzi Primeira forma fundamental Segunda forma fundamental
Geometria de Riemann	Curvatura de variedades riemanianas Curvatura seccional Escalar de curvatura de Ricci Tensor de curvatura Tensor de curvatura de Ricci
Curvatura de conecções	Forma de curvatura Tensor de torção Co-curvatura Holonomia