Lei de Gauss

Este artigo carece de reciclagem de acordo com o livro de estilo. Sinta-se livre para editá-lo(a) para que este(a) possa atingir um nível de qualidade superior. (Outubro de 2022)

A lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica que existe dentro do volume limitado por esta superfície. A lei de Gauss é uma das quatro equações de Maxwell, juntamente com a lei de Gauss do magnetismo, a lei da indução de Faraday e a lei de Ampère-Maxwell. Foi elaborada por Carl Friedrich Gauss em 1835, porém só foi publicada após 1867.^[1] Gauss foi um matemático alemão que fez contribuições importantes para a teoria dos números, a geometria e a probabilidade, tendo também contribuições em astronomia e na medição do tamanho e do formato da Terra.^[2]

Fluxo do campo elétrico[editar | editar código-fonte]

O fluxo de campo elétrico, ${\displaystyle \Phi _{E}}$, é uma grandeza escalar e pode ser considerado como uma medida do número de linhas de campo que atravessam a superfície.^[2][3] Convenciona-se que se há mais linhas de campo saindo da superfície do que entrando, o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo e se há mais linhas de campo entrando na superfície do que saindo da mesma, o fluxo é negativo. Além disso, é importante observar o fato de que se o número de linhas de campo que entra na superfície é igual ao número de linhas de campo que sai da superfície, então o fluxo de campo elétrico através da superfície é nulo.^[2][4]

Para obter o fluxo do campo elétrico E através de uma superfície fechada em que E é não-uniforme, é preciso dividi-la em elementos de área infinitesimal dA. Define-se, então, um vetor dA cujo módulo é dA, a direção é perpendicular ao elemento de área e o sentido é adotado como o sentido da normal ao elemento infinitesimal saindo da superfície. Assim, esses elementos infinitesimais são tão pequenos que E pode ser considerado constante em todos os pontos de um mesmo elemento de área.^[2] Portanto, podemos definir o fluxo de E através de uma superfície S da seguinte forma:

${\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

ou, no caso de uma superfície fechada:

${\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,\!}$

Da definição de produto escalar, tem-se que: E . dA = |E||dA| cosθ = |E|cosθ |dA|. Como θ é o ângulo entre os vetores E e dA, |E|cosθ é a projeção do vetor E sobre o vetor dA, logo a função desse produto escalar dentro da integral é selecionar algo proporcional à componente do campo elétrico que está "furando" à superfície infinitesimal dA, o que é coerente com a definição de fluxo dada anteriormente.

Por fim, se uma carga pontual estiver fora da superfície, as linhas de campo que partem da carga pontual irão entrar e sair da superfície, visto que as linhas de campo de uma carga pontual são radiais. Por isso, pode-se concluir que se uma carga está fora de uma superfície, então o fluxo do campo elétrico dessa carga através da superfície é nulo, ou seja:

${\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0}$, se ${\displaystyle q}$ estiver externa à superfície.

Lei de Gauss[editar | editar código-fonte]

A lei de Gauss estabelece uma relação entre o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada e as cargas que estão no interior dessa superfície. Algumas considerações importantes sobre a de lei de Gauss são:

• A lei de Gauss não contém nenhuma informação que não esteja contida na lei de Coulomb e no princípio da superposição. Inclusive, é possível obter a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss e vice-versa.^[3]
• É fundamental para a lei de Gauss, o fato de que a força elétrica é proporcional ao inverso do quadrado da distância. É esse fato que faz com que o fluxo de E não dependa da "superfície gaussiana" escolhida e dependa apenas das cargas que estão localizadas no interior da superfície. Dessa forma, é possível pensar numa lei de Gauss que estabeleça uma relação de fluxo para qualquer campo cuja lei de força associada a esse campo seja proporcional ao inverso do quadrado da distância, como a força gravitacional, por exemplo, logo existe uma lei de Gauss da gravitação.^[3]
• Apesar da lei de Coulomb nos fornecer o necessário para calcular o campo elétrico de uma distribuição de cargas, muitas vezes, as integrais que envolvem o cálculo do campo elétrico podem ser complicadas de serem resolvidas, mesmo para casos razoavelmente simples. É nesse ponto que reside um dos aspectos de maior eficiência da lei de Gauss: o cálculo do campo elétrico em distribuições de carga que possuam determinados tipos de simetria torna-se extremamente simples.^[3]
• A lei de Gauss se refere sempre ao fluxo no interior de uma superfície gaussiana escolhida. Portanto, para utilizar a lei de Gauss, é necessário definir o que é uma "superfície gaussiana". Esta é, por sua vez, uma superfície arbitrariamente escolhida. Normalmente, essa superfície é escolhida de modo que a simetria da distribuição de carga permita, ao menos em parte da superfície, um campo elétrico de intensidade constante.^[2]

Forma integral da lei de Gauss[editar | editar código-fonte]

Para entender como a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico no interior de uma superfície gaussiana com a carga no interior dessa mesma superfície, escolhe-se uma superfície qualquer com uma carga q em seu interior. Então, escolhe-se outra superfície gaussiana S' que está envolvendo q no interior de S. A forma dessa superfície S' pode ser qualquer, contudo, a fim de facilitar os cálculos e a visualização, vamos fazer dessa superfície S', uma esfera de raio r centrada na carga q. O raio r é tal que S' esteja inteiramente dentro de S.^[4] O fluxo do campo elétrico através dessa esfera é dado por:

${\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S'}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

Como tanto E quanto dA são radiais, o produto escalar torna-se o produto dos módulos, então:

${\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S'}E\ dA}$

Como |E| é constante na superfície da esfera, podemos tirá-lo da integral e temos:

${\displaystyle \Phi _{E}=E\oint _{S'}dA=\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}\right)(4\pi r^{2})={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$

Portanto, é possível observar que o fluxo através da superfície S' é um número que independe do raio da esfera. Dessa forma, o fluxo que sai da superfície S também será ${\displaystyle {\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$. Esse é um valor independente da forma da superfície S, desde que esta tenha uma carga q em seu interior. Se uma carga q está no exterior da superfície S, as suas linhas de campo entram e saem da superfície S, por isso, o fluxo de campo elétrico dessa carga sobre a superfície é nulo. Logo:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0{\text{, se a carga está no exterior da superfície gaussiana.}}}$

Por fim, se tivermos mais de uma carga no interior da superfície gaussiana, vale o princípio da superposição de modo que:

${\displaystyle \oint _{S}\left(\mathbf {E_{1}} +\mathbf {E_{2}} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\oint _{S}\mathbf {E_{1}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\oint _{S}\mathbf {E_{2}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{1}+q_{2}}{\varepsilon _{0}}}}$

Portanto, a Lei de Gauss na forma integral pode ser enunciada da seguinte forma:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}}$

Forma diferencial da lei de Gauss[editar | editar código-fonte]

Demonstração

Pelo teorema da divergência:[3][5] ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {E} ){d}\tau }$ Pode-se reescrever a carga interna à superfície, qint, em termos da densidade ρ: ${\displaystyle q_{int}=\int _{V}\rho \ \mathrm {d} \tau }$ Desse modo, usando o teorema de Stokes,a lei de Gauss, assume a forma: ${\displaystyle \int _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right){d}\tau =\int _{V}\left({\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right){d}\tau }$ Por fim, como se quer que essa igualdade valha para qualquer volume, os integrandos devem ser iguais, logo: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\!}$

Relação entre a lei de Gauss e a lei de Coulomb[editar | editar código-fonte]

Demonstração

Existe uma relação entre a lei de Gauss e a lei de Coulomb, de forma que nenhuma das duas leis é mais fundamental do que a outra. Partindo-se de uma delas pode-se obter a outra como consequência. Partindo-se da lei de Coulomb, tem-se que[3]: ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {q}{r''^{2}}}{\hat {\mathbf {r''} }}}$ onde Ω significa que a integral ocorre em todo o espaço e ${\displaystyle \mathbf {r''} =\mathbf {r'} -\mathbf {r} }$, isto é, ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ é um vetor que vai da origem até um elemento infinitesimal de volume da distribuição de carga geradora do campo, r é um vetor que vai da origem ao ponto no qual se deseja calcular calcular o campo e ${\displaystyle \mathbf {r''} }$ é o vetor que representa a distância entre o elemento infinitesimal da fonte de campo elétrico e o ponto no qual se deseja calcular o campo. Pode-se reescrever a equação acima em termos da densidade volumétrica de carga da seguinte forma: ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\hat {\mathbf {r''} }}{r''^{2}}}\rho (\mathbf {r'} )\mathrm {d} \tau '}$ onde dτ' é um elemento infinitesimal de volume da distribuição de carga geradora do campo. Sabe-se que, pelo teorema da divergência, o fluxo do campo elétrico pode ser escrito do seguinte modo: ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {E} ){d}\tau }$ Calculando-se o divergente de E, obtém-se: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\mathbf {r''} }}{r''^{2}}}\right)\rho (\mathbf {r'} )\mathrm {d} \tau '}$ Entretanto: ${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\hat {\mathbf {r''} }}{r''^{2}}}\right)=4\pi \delta ^{3}(\mathbf {r''} )}$ Esse é um resultado importante e muito usado em eletrostática. Um cálculo de divergente acima de forma não muito atenta pode levar, equivocadamente, a um divergente nulo. Em contrapartida, pode-se obter esse resultado resolvendo a integral de superfície de ${\displaystyle \left({\frac {\hat {\mathbf {r''} }}{r''^{2}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$ numa superfície esférica de raio R, que leva ao resultado: ${\displaystyle \oint _{S}\left({\frac {\hat {\mathbf {r''} }}{r''^{2}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =4\pi }$. Portanto, isso sugere que o divergente deve ser calculado de forma mais cuidadosa, introduzindo o conceito da distribuição delta de Dirac em eletrostática. Sabendo, então, que :${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\hat {\mathbf {r''} }}{r''^{2}}}\right)=4\pi \delta ^{3}(\mathbf {r''} )=4\pi \delta ^{3}(\mathbf {r-r'} )}$ e usando o conceito de distribuição delta de Dirac: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }4\pi \delta ^{3}(\mathbf {\mathbf {r} -\mathbf {r'} } )\rho (\mathbf {r'} )\mathrm {d} \tau '={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} )}$ Chega-se, portanto na lei de Gauss na forma diferencial. Pode-se obter a lei de Gauss na forma integral do seguinte modo: ${\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {E} ){d}\tau =\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho \ {d}\tau ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\!}$ Tomando uma superfície esférica S, de raio r, centrada na carga q, e partindo-se da lei de Gauss, tem-se que:[2] ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$ Como escolheu-se uma carga positiva, pode-se observar que, por simetria, o campo na superfícies esférica é radial e aponta para fora da esfera, visto que as linhas de campo divergem de uma carga positiva. Portanto, E e dA apontam na mesma direção e sentido de modo que: ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\oint _{S}E\ dA={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$ Como E possui a mesma intensidade para todos os pontos da superfície esférica, pode-se retirá-lo de dentro do símbolo de integração: ${\displaystyle E\oint _{S}dA={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$ Mas, a área da superfície esférica é 4πr², logo: ${\displaystyle E(4\pi r^{2})={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}}$ Contudo, já foi considerado antes que o campo deve estar na direção radial, então: ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r''} }}{r''^{2}}}}$

Aplicações[editar | editar código-fonte]

É importante ressaltar que a lei de Gauss se torna eficiente apenas em casos em que há simetria. Mais precisamente, nos casos nos quais existe simetria esférica, cilíndrica ou plana.^[3] Dessa forma, construir superfícies gaussianas que aproveitem a simetria é de vital importância para a aplicação da lei de Gauss,^[2] visto que a eficiência da lei de Gauss consiste em utilizar a simetria das distribuições de carga para calcular campo elétrico dessas com mais facilidade.^[2][3]

Campo elétrico no interior e no exterior de uma esfera[editar | editar código-fonte]

Para uma esfera de raio R com carga Q uniformemente distribuída pela esfera, tem-se:

No exterior da esfera

Para se obter o campo no exterior da esfera, escolhe-se, como superfície gaussiana, a superfície esférica de raio r', situada no exterior da esfera de raio R. Pode-se imaginar que, muito longe da esfera, o campo elétrico que se sente é como o campo de uma carga puntiforme. Além disso, devido à simetria esférica, o campo elétrico deve apontar na direção radial. Dessa forma, aplicando a lei de Gauss:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

O campo deve apontar na direção radial e, portanto, E e dA possuem a mesma direção e sentido e, por isso, segue que: E . dA = E dA. Logo:

${\displaystyle \oint _{S}E\ dA={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

O módulo do campo elétrico na superfície gaussiana é constante, visto que, nesse caso, o campo deve depender da distância em relação à esfera e, portanto, E pode sair da Integral.

${\displaystyle E\oint _{S}dA={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle E\left(4\pi r'^{2}\right)={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r'^{2}}}}$

Logo:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r'^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}$

No interior da esfera

Para como o campo elétrico varia no interior da esfera, deve-se tomar como superfície gaussiana a superfície esférica de raio r no interior da esfera de raio R. Nesse caso, como a carga está uniformemente distribuída pela esfera, a densidade volumétrica de carga, ρ, é a mesma em todos os pontos da esfera,então pode-se observar que:

${\displaystyle q_{int}=\rho V_{g}=\left({\frac {Q}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\right)\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right)=Q\ {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$

onde V_g é o volume da superfície gaussiana escolhida.

Dessa forma:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\ {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$

Os mesmos argumentos dados anteriormente para que o produto escalar E . dA seja E dA e para que E saia da integral continuam sendo válidos, logo:

${\displaystyle \oint _{S}E\ dA={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\ {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$

${\displaystyle E\oint _{S}dA={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\ {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$

${\displaystyle E\left(4\pi r^{2}\right)={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\ {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$

${\displaystyle E={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {r}{R^{3}}}}$

Logo:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {r}{R^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}}$

Portanto, no caso de uma esfera uniformemente carregada:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\begin{cases}{\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {r}{R^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }},&{\mbox{se }}r<R\\{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},&{\mbox{se }}r>R\end{cases}}}$

Campo elétrico no interior e no exterior de uma casca esférica[editar | editar código-fonte]

Para se resolver esse problema, utiliza-se a figura 4 novamente, porém com uma ligeira diferença: o interior da esfera de raio R é "oco", isto é, tem-se apenas uma casca esférica com carga Q uniformemente distribuída sobre sua superfície.

No exterior da esfera

Escolhendo a superfície de raio r' como mostrada na figura 4, tem-se, pela lei de Gauss, o mesmo resultado que foi obtido para o campo no exterior de uma esfera. A carga interna à superfície gaussiana, q_int, é Q nesse caso, como no caso anterior da esfera uniformemente carregada, de forma que o cálculo para o campo elétrico exterior à da casca esférica se desenvolve da mesma forma que o cálculo para o campo no exterior à esfera uniformemente carregada, então:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r'^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}$

No interior da casca esférica

Escolhendo a superfície gaussiana de raio r, no interior da casca esférica, tem-se:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}=0}$

${\displaystyle \oint _{S}E\ dA=0}$

${\displaystyle E\oint _{S}dA=0}$

${\displaystyle E\left(4\pi r^{2}\right)=0}$

Portanto:

${\displaystyle E=0}$

Logo:

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {0} }$

Portanto, no caso de uma casca esférica uniformemente carregada:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\begin{cases}\mathbf {0} ,&{\mbox{se }}r<R\\{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},&{\mbox{se }}r>R\end{cases}}}$

Campo elétrico de um plano infinito[editar | editar código-fonte]

Supõe-se um plano infinito com densidade de carga σ e se deseja calcular o campo elétrico produzido por esse plano. Apesar de o problema ser bem diferente do apresentado na figura 5, visto que, no problema em questão, está-se estudando um plano infinito e não o campo no interior de um capacitor, é interessante utilizar uma superfície gaussiana de mesma forma que a superfície retratada na placa de baixo do capacitor da figura 5. Utilizando, portanto, a superfície de um paralelepípedo cortando o plano infinito como superfície S, tem-se:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}}$

Por simetria, o campo elétrico deve apontar para "fora" do plano, isto é, ele aponta na direção ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ para pontos acima do plano e na direção ${\displaystyle -{\hat {\mathbf {z} }}}$ para pontos abaixo do plano. Dessa forma, as únicas superfícies superior e inferior da superfície do paralelepípedo é que serão "furadas" pelo campo elétrico, por isso:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{S1+S2}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{S1+S2}E\ dA=E\int _{S1+S2}dA=2AE}$

onde A é a área da superfície superior e inferior da superfície do paralelepípedo. Sabe-se, também, que : σ = qint/A, logo : qint = σA, portanto:

${\displaystyle 2AE={\frac {\sigma A}{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle E={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}}$

ou

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {n} }}}$

onde ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ é um vetor unitário que aponta para fora da superfície do plano.

Campo elétrico de uma carga uniformemente distribuída ao longo de um fio extenso[editar | editar código-fonte]

Vamos considerar um fio longo que possui uma densidade linear uniforme de cargas ${\displaystyle \lambda }$ positiva em toda sua extensão. Podemos determinar o campo elétrico produzido por esta distribuição de cargas através da Lei de Gauss. Para tal, devido à simetria cilíndrica existente, vamos escolher como superfície gaussiana uma superfície cilíndrica de raio ${\displaystyle r}$ e comprimento ${\displaystyle h}$, coaxial com o fio, como mostrado na Figura 6. Como o fio possui uma densidade linear de cargas uniforme, podemos relacionar a carga contida no interior da superfície gaussiana com esta densidade pela seguinte expressão: ${\displaystyle q_{int}=\lambda h}$. Dessa forma, a Lei de Gauss pode ser escrita como^[2]:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\dfrac {q_{int}}{\varepsilon _{0}}}={\dfrac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}}$

Uma vez que o fio está carregado positivamente e considerando sua simetria cilíndrica, esperamos que o campo elétrico produzido por ele aponte radialmente para fora do fio. Tal característica faz com que o fluxo de campo elétrico seja nulo nos planos da base da superfície gaussiana, isto é, ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =0}$, já que o ângulo entre ${\displaystyle {\textbf {E}}}$ e ${\displaystyle d\mathbf {A} }$ é ${\displaystyle 90^{\circ }}$. Na superfície lateral, o diferencial de fluxo passa a ser escrito como ${\displaystyle EdA}$, já que o ângulo entre ${\displaystyle {\textbf {E}}}$ e ${\displaystyle d\mathbf {A} }$ é ${\displaystyle 0^{\circ }}$. Dessa forma, sendo ${\displaystyle 2\pi rh}$ a área lateral da superfície gaussiana, temos que (onde SL significa Superfície Lateral):

${\displaystyle E\int _{SL}dA={\dfrac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle E\cdot (2\pi rh)={\dfrac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle E={\dfrac {1}{2\pi \varepsilon _{0}}}{\dfrac {\lambda }{r}}}$

Logo, a expressão vetorial da distribuição espacial do campo elétrico resulta em:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\dfrac {1}{2\pi \varepsilon _{0}}}{\dfrac {\lambda }{r}}\mathbf {\hat {r}} }$

Lei de Gauss para dielétricos[editar | editar código-fonte]

Cargas livres e cargas ligadas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: polarização dielétrica

Um dielétrico em presença de um campo elétrico, sofre o que se chama de polarização. A polarização consiste na separação das cargas positivas e negativas desse dielétrico, visto que o campo elétrico acelera cargas positivas no sentido do campo e cargas negativas no sentido oposto. Essas cargas geradas por esse efeito de polarização é o que se chama de cargas ligadas. O material passa a ser constituído de dipolos, como mostrado na figura 6. Dessa forma, as cargas estão "presas" aos dipolos, não estão livres para se mover. Por sua vez, é chamado de carga livre, o restante das cargas, que não foram geradas por esse efeito de polarização. As cargas livres são as cargas com as quais se está mais habituado quando se estuda eletrostática.^[3] Desse modo, num dielétrico, a densidade volumétrica de carga pode ser escrita como:

${\displaystyle \rho =\rho _{lig}+\rho _{liv}}$

onde ${\displaystyle \rho _{lig}}$ é a densidade volumétrica de carga ligada e ${\displaystyle \rho _{liv}}$ é a densidade volumétrica de carga livre.

Demonstração da lei de Gauss para dielétricos[editar | editar código-fonte]

Demonstração

${\displaystyle \rho =\rho _{lig}+\rho _{liv}}$ Pela lei de Gauss na forma diferencial: ${\displaystyle \varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho =\rho _{lig}+\rho _{liv}=-\nabla \cdot \mathbf {P} +\rho _{liv}}$ onde usamos o resultado de que ${\displaystyle \rho _{lig}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$ (ver Leitura Complementar(**)) e P é o vetor polarização, que é definido como o momento de dipolo por unidade de volume. ${\displaystyle \nabla \cdot (\varepsilon _{0}\mathbf {E} )+\nabla \cdot \mathbf {P} =\rho _{liv}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot (\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} )=\rho _{liv}}$ A expressão entre parênteses é designada pela letra D, que é o chamado vetor de deslocamento elétrico. Ou seja: ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$ Portanto: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{liv}\,\!}$ Essa é a lei de Gauss em dielétricos na forma diferencial. Para obter a forma integral: ${\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {D} ){d}\tau =\int _{v}\rho _{liv}\ {d}\tau }$ Pelo teorema de Stokes: ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =q_{liv_{int}}\,\!}$ Pode-se observar que a lei de Gauss para dielétricos só faz referência à cargas livres, que é o tipo de carga sobre o qual se tem controle e se tem mais facilidade de medir, por isso, a lei de Gauss para dielétricos torna-se um artifício muito útil para calcular o vetor deslocamento elétrico de diferentes distribuições de carga e, consequentemente, o campo elétrico dessas distribuições, que pode ser obtido através da relação entre E e D.

Referências

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Delta de Dirac
• Polarização dielétrica