Integração por substituição trigonométrica

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A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição trigonométrica[editar | editar código-fonte]

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria ${\displaystyle sen^{2}\theta \ +cos^{2}\theta \ =1}$

É fácil de perceber, que as funções ${\displaystyle sen^{2}\theta }$ e ${\displaystyle cos^{2}\theta }$ podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

$${\displaystyle cos^{2}\theta \ =1-sen^{2}\theta }$$

$${\displaystyle sen^{2}\theta \ =1-cos^{2}\theta }$$

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por ${\displaystyle cos^{2}\theta }$

$${\displaystyle sen^{2}\theta \ +cos^{2}\theta \ =1}$$

$${\displaystyle {\frac {sen^{2}\theta }{cos^{2}\theta }}+{\frac {cos^{2}\theta }{cos^{2}\theta }}={\frac {1}{cos^{2}\theta }}}$$

Resultando em:

$${\displaystyle tan^{2}\theta \ =sec^{2}\theta \ -1}$$

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

$${\displaystyle 1-sen^{2}\theta \ =cos^{2}\theta }$$

${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$

$${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta \;=\;\sec ^{2}\theta }$$

${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$

$${\displaystyle \sec ^{2}\theta -1\;=\;\tan ^{2}\theta }$$

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$

Substituição inversa[editar | editar código-fonte]

Deve se ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

$${\displaystyle u=\phi \ (x)}$$

$${\displaystyle x=\phi \ ^{-1}(u)}$$

${\displaystyle dx=[\phi \ ^{-1}]'(u)du}$

$${\displaystyle \int f(x)dx=\int f(u)[\phi \ ^{-1}]'(u)du}$$

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a integral ${\displaystyle \int {\sqrt {16-x^{2}}}dx}$ usando a substituição ${\displaystyle x=4sen\theta }$, obtêm-se ${\displaystyle dx=4cos\theta \ d\theta }$

$${\displaystyle \int {\sqrt {16(1-sen^{2}\theta )}}4\ cos\theta \ d\theta }$$

$${\displaystyle 16\int \ cos^{2}\theta \ d\theta }$$

A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

$${\displaystyle u=cos\theta ,dv=cos\theta \ d\theta }$$

$${\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta =cos\theta \ sen\theta +\int sen^{2}\theta \ d\theta }$$

$${\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta =cos\theta \ sen\theta +\int 1\ d\theta -\int cos^{2}\theta \ d\theta }$$

$${\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta ={\frac {cos\theta \ sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}}$$

Voltando a equação original

$${\displaystyle 16\int cos^{2}\theta \ d\theta =16\left({\frac {cos\theta \ sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}$$

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito transpondo o ângulo ${\displaystyle \theta }$ para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a ${\displaystyle \theta }$ igual a ${\displaystyle x}$, consequentemente o cateto adjacente ao ângulo ${\displaystyle \theta }$ valerá ${\displaystyle {\sqrt {16-x^{2}}}}$. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

$${\displaystyle cos\theta ={\frac {\sqrt {16-x^{2}}}{4}}}$$

$${\displaystyle sen\theta ={\frac {x}{4}}}$$

O ângulo ${\displaystyle \theta }$ pode ser expresso como${\displaystyle arcsen{\frac {x}{4}}}$ Obtendo assim como resposta final:

${\displaystyle {\frac {x{\sqrt {16-x^{2}}}}{2}}+8{arcsen{\frac {x}{4}}}+C}$