Esboço do gráfico de uma função exponencial Chama-se função exponencial a função f : R → R + ∗ {\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{*}} tal que f ( x ) = a x {\textstyle f(x)=a^{x}} em que a ∈ R {\textstyle a\in \mathbb {R} } , 0 < a ≠ 1 {\textstyle 0<a\neq 1} . O número a {\displaystyle a} é chamado de base da função. A função exponencial f ( x ) = a x {\textstyle f(x)=a^{x}} pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a > 1 {\textstyle a>1} , a função é crescente. Caso 0 < a < 1 {\textstyle 0<a<1} a função é decrescente.[ 1] [ 2]
A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1 , a potência a n indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n , isto é,[ 3]
a n = a × ⋯ × a ⏟ n , {\displaystyle {{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n},} Esta definição implica as seguintes propriedades:
a n + m = a n a m ; {\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m};} a n m = ( a n ) m . {\displaystyle a^{nm}=\left(a^{n}\right)^{m}.} A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:
a 0 = 1 , ∀ a ≠ 0 ; {\displaystyle a^{0}=1,\quad \forall a\neq 0;} a − n = 1 a n , ∀ a ≠ 0 , n ∈ N ; {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad \forall a\neq 0,~~n\in \mathbb {N} ;} a 1 n = a n , ∀ a > 0 , n ∈ N ; {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}},\quad \forall a>0,~~n\in \mathbb {N} ;} a n m = a n m , ∀ a > 0 , n ∈ Z m ∈ N . {\displaystyle a^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}},\quad \forall a>0,~~n\in \mathbb {Z} ~~m\in \mathbb {N} .} A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:[ 4]
a x = sup n m < x a n m , a > 1 ; {\displaystyle a^{x}=\sup _{{\frac {n}{m}}<x}a^{\frac {n}{m}},a>1;} a x = inf n m < x a n m , a < 1. {\displaystyle a^{x}=\inf _{{\frac {n}{m}}<x}a^{\frac {n}{m}},a<1.} De fato, a função y = ax é a única função contínua y =f(x ) que satisfaz:
f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ; {\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y);} f ( 1 ) = a . {\displaystyle f(1)=a.} No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa , o logaritmo natural :[ 4]
a x = e ln ( a ) x . {\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)x}.} A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:
a 1 = a {\displaystyle a^{1}=a} a x + y = a x a y , ∀ x , y ∈ R {\displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y},~~\forall x,y\in \mathbb {R} } A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:
a 0 = a 1 + 0 a 1 = a 1 a 1 = 1 , {\displaystyle a^{0}={\frac {a^{1+0}}{a^{1}}}={\frac {a^{1}}{a^{1}}}=1,} a − x = a ( − x ) + x a x = a 0 a x = 1 a x , ∀ x ∈ R {\displaystyle a^{-x}={\frac {a^{(-x)+x}}{a^{x}}}={\frac {a^{0}}{a^{x}}}={\frac {1}{a^{x}}},~~\forall x\in \mathbb {R} } Função exponencial crescente Função exponencial decrescente A função exponencial de base a {\displaystyle a} , f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} , tem as seguintes propriedades:[ 1] [ 2]
f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} para todo x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } ; f ( x ) {\displaystyle f(x)} é função crescente se, e somente se, a > 1 {\displaystyle a>1} ; f ( x ) {\displaystyle f(x)} é função decrescente se, e somente se, 0 < a < 1 {\displaystyle 0<a<1} ; f ( x ) {\displaystyle f(x)} é injetiva ; f ( x ) {\displaystyle f(x)} é ilimitada superiormente ; f ( x ) {\displaystyle f(x)} é contínua ; f ( x ) {\displaystyle f(x)} é sobrejetiva ; f ( x ) {\displaystyle f(x)} é bijetiva , isto é, possui uma função inversa , o logaritmo , denominada log a ( x ) {\displaystyle \log _{a}(x)} . Propriedade 1 Mostraremos, primeiro, que f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} para todo x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . Com efeito, notamos que f ( 0 ) = 1 ≠ 0 {\displaystyle f(0)=1\neq 0} . Suponhamos, por contradição, que f ( x ) = a x = 0 {\displaystyle f(x)=a^{x}=0} para algum x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . Mas, daí temos 0 = a x a − x + 1 = a > 0 {\displaystyle 0=a^{x}a^{-x+1}=a>0} , uma contradição. Concluímos que f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} para todo x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } .
Como consequência f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} para todo x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , uma vez que f ( 0 ) = a 0 = 1 {\displaystyle f(0)=a^{0}=1} .
Propriedade 2 Sejam x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } . Suponhamos, sem perda de generalidade, que x < y {\displaystyle x<y} . Tomamos, então, p > 0 ∈ R {\displaystyle p>0\in \mathbb {R} } tal que y = x + p {\displaystyle y=x+p} . Segue que a y − a x = a x + p − a x = a x ( a p − 1 ) {\displaystyle a^{y}-a^{x}=a^{x+p}-a^{x}=a^{x}(a^{p}-1)} . Pela propriedade 1, temos a x > 0 {\displaystyle a^{x}>0} . Logo, a x < a y {\displaystyle a^{x}<a^{y}} se, e somente se, a p > 1 {\displaystyle a^{p}>1} . Como p > 0 {\displaystyle p>0} , a p > 1 {\displaystyle a^{p}>1} se, e somente se, a > 1 {\displaystyle a>1} . Concluímos que, f ( x ) < f ( y ) {\displaystyle f(x)<f(y)} se, e somente se, a > 1 {\displaystyle a>1} .
Propriedade 3 Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.
Propriedade 4 Consequência imediata das propriedades 2 e 3.
Propriedade 5 Seja f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} com a > 1 {\displaystyle a>1} . Tomamos d ∈ R {\displaystyle d\in \mathbb {R} } tal que a = 1 + d {\displaystyle a=1+d} . Assim, pela desigualdade de Bernoulli , temos a n > 1 + n d {\displaystyle a^{n}>1+nd} . Logo, dado qualquer L > 0 {\displaystyle L>0} , se escolhemos x {\displaystyle x} como o menor inteiro maior que L − 1 d {\displaystyle {\frac {L-1}{d}}} , temos f ( x ) > L {\displaystyle f(x)>L} , i.e. f ( x ) {\displaystyle f(x)} é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para 0 < a < 1 {\displaystyle 0<a<1} .
Propriedade 6 Para qualquer c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } , temos f ( c ) {\displaystyle f(c)} está bem definida. Além disso, temos:
lim x → c f ( x ) = lim h → 0 f ( c + h ) = lim h → 0 a c + h = lim h → 0 a c a h = a c lim h → 0 a h {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{h\to 0}f(c+h)=\lim _{h\to 0}a^{c+h}=\lim _{h\to 0}a^{c}a^{h}=a^{c}\lim _{h\to 0}a^{h}} Como, lim h → 0 a h = 1 {\displaystyle \lim _{h\to 0}a^{h}=1} , seque que:
lim x → c f ( x ) = f ( c ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)} . Lema Dados um número real a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} e um intervalo I = [ c , d ] ⊂ R + ∗ {\displaystyle I=[c,~d]\subset \mathbb {R} _{+}^{*}} , com d > c {\displaystyle d>c} , então existe um número racional r ∈ Q {\displaystyle r\in \mathbb {Q} } tal que a r ∈ I {\displaystyle a^{r}\in I} .[ 1]
Suponhamos, sem perda de generalidade, que a , c > 1 {\displaystyle a,c>1} . Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural n 1 ∈ N {\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} } tal que:
c < d < a n 1 {\displaystyle c<d<a^{n_{1}}} . Como consequência, existe um número natural n 2 ∈ N {\displaystyle n_{2}\in \mathbb {N} } tal que:
1 < a < ( 1 + d − c a n 1 ) n 2 {\displaystyle 1<a<\left(1+{\frac {d-c}{a^{n_{1}}}}\right)^{n_{2}}} . Daí, segue que:
1 < a 1 n 2 < 1 + d − c a n 1 ⇒ 0 < a n 1 ( a 1 / n 2 − 1 ) < d − c {\displaystyle 1<a^{\frac {1}{n_{2}}}<1+{\frac {d-c}{a^{n_{1}}}}\Rightarrow 0<a^{n_{1}}\left(a^{1/n_{2}}-1\right)<d-c} . Assim:
m n 2 ≤ n 1 ⇒ a m n 2 ( a 1 n 2 − 1 ) = a m + 1 n 2 − a m n 2 < d − c {\displaystyle {\frac {m}{n_{2}}}\leq n_{1}\Rightarrow a^{\frac {m}{n_{2}}}\left(a^{\frac {1}{n_{2}}}-1\right)=a^{\frac {m+1}{n_{2}}}-a^{\frac {m}{n_{2}}}<d-c} . Desta forma, temos que:
a 0 < a 1 n 2 < a 2 n 2 < ⋯ < a n 1 {\displaystyle a^{0}<~a^{\frac {1}{n_{2}}}<~a^{\frac {2}{n_{2}}}<~\cdots <~a^{n_{1}}} é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo I = [ c , d ] {\displaystyle I=[c,~d]} . Logo, pelo menos um dos termos desta sequência deve pertencer a I {\displaystyle I} , i.e. para algum m {\displaystyle m} , temos a r ∈ I {\displaystyle a^{r}\in I} com r = m n 2 {\displaystyle r={\frac {m}{n_{2}}}} .
Propriedade 7 Seja y ∈ R + ∗ {\displaystyle y\in \mathbb {R} _{+}^{*}} . Suponhamos que a > 1 {\displaystyle a>1} . Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada ( r n ) n ∈ N {\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }} tal que a r n ∈ [ y − 1 n , y ] {\displaystyle a^{r_{n}}\in \left[y-{\frac {1}{n}},~y\right]} . Pela completude dos números reais, temos que r n → x {\displaystyle r_{n}\to x} quando n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } . Segue da continuidade de f ( x ) {\displaystyle f(x)} (propriedade 6), que:
a x = lim n → ∞ a r n = y {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n}}=y} i.e., dado y ∈ R + ∗ {\displaystyle y\in \mathbb {R} _{+}^{*}} , existe x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } tal que f ( x ) = a x = y {\displaystyle f(x)=a^{x}=y} . A demonstração para 0 < a < 1 {\displaystyle 0<a<1} segue raciocínio análogo.
Propriedade 8 Consequência imediata das propriedades 4 e 7.
Esboço do gráfico da função exponencial natural A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler . Denotado por e x ou exp(x ), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita ; a segunda, como limite de uma seqüência :[ 4]
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots } e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}} Aqui, n ! {\displaystyle n!} corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo .
O valor da base da exponencial natural, e {\displaystyle e} , é aproximadamente 2 . 718281828 {\displaystyle 2{.}718281828} .
A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades:[ 4]
A função y = e x é contínua e diferenciável para todo x . A derivada da função y = e x é a própria função função y = e x . A função y = e x é positiva e crescente para todo número real x . e x +y = e x e y A curva y = e x jamais toca o eixo x , embora se aproxime de zero para valores negativos de x , isto é: lim x → − ∞ e x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0} Os valores de y =e x crescem ilimitadamente, isto é: lim x → + ∞ e x = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty } A função y =e x cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos: lim x → − ∞ x n e x = 0. {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }x^{n}e^{x}=0.} A função y = e x {\displaystyle y=e^{x}} é igual a sua derivada, i.e.: d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{x}=e^{x}} . Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:
a x = e x ln a {\displaystyle a^{x}=e^{x\ln a}} Para todo a > 0 e x ∈ R . {\displaystyle x\in \mathbb {R} .}
Comportamento da função exponencial A derivada da função exponencial de base a {\displaystyle a} , f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} é dada por:[ 5] [ 6]
d d x f ( x ) = a x ln a {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=a^{x}\ln a} . De fato, como a x = e ( ln a ) x {\displaystyle a^{x}=e^{(\ln a)x}} temos da regra da cadeia que:
d d x a x = d d x e ( ln a ) x = ( ln a ) e ( ln a ) x = a x ln a {\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}a^{x}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{(\ln a)x}=(\ln a)e^{(\ln a)x}=a^{x}\ln a} . De forma análoga, obtermos a derivada segunda:
d 2 d x 2 a x = d d x a x ln a = a x ( ln a ) 2 {\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}}{{\text{d}}x^{2}}}a^{x}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}a^{x}\ln a=a^{x}(\ln a)^{2}} Como ( ln ( a ) ) 2 {\displaystyle (\ln(a))^{2}} é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x , isto é a função exponencial é uma função convexa .
A integral indefinida da função exponencial é dada por:[ 5] [ 6]
∫ a x d x = ∫ e ln a x d x = 1 ln a e ln a x + C = 1 ln a a x + C {\displaystyle \int a^{x}{\text{d}}x=\int e^{\ln ax}{\text{d}}x={\frac {1}{\ln a}}e^{\ln ax}+C={\frac {1}{\ln a}}a^{x}+C} . Referências