Equação de Raychaudhuri
Na relatividade geral, a equação de Raychaudhuri, ou equação de Landau-Raychaudhuri,[1] é um resultado fundamental que descreve o movimento de porções de matéria próximas.[2] A equação oferece uma validação simples e geral de nossa expectativa intuitiva de que a gravitação deveria ser uma força atrativa universal entre quaisquer duas porções de massa-energia na relatividade geral, como é na teoria da gravitação de Newton.
A equação foi descoberta independentemente pelo físico indiano Amal Kumar Raychaudhuri[3] e pelo físico soviético Lev Landau.[4][5]
Declaração matemática[editar | editar código-fonte]
Dado um campo vectorial de unidade de tempo (que pode ser interpretado como uma família ou congruência de linhas do universo não-interceptadas através da curva integral, não necessariamente geodésicas), a equação de Raychaudhuri pode ser escrita
![{\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e9a335b03c18ec4010a13eb4bf88b61a1a8367)
onde
são (não-negativas) invariantes quadráticas do tensor de cisalhamento[6]
![{\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c54a6ae6c2017b875145c11235f0690dce15fe)
respectivamente. Aqui,
é o tensor de expansão, é o seu traço, chamado de escalar de expansão,[7] e
é o tensor de projeção nos hiperplanos ortogonais[8][9] a . Além disso, o ponto denota diferenciação em relação ao tempo próprio contado ao longo das linhas do universo na congruência. Finalmente, o traço do tensor das marés [10] também pode ser escrito
![{\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c055cfa6ed21518f118b6a007b61c04da0e3f2e)
![{\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d242b40a425401fa731ab663c1d6adec5855eb)
Esta quantidade é às vezes chamada de Escala de Raychaudhuri.
Referências
- ↑ The generalized Landau–Raychaudhuri equation and its applications por Sergey E. Stepanov and Josef Mikeš, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 12, 1560026 (2015)
- ↑ Spacetime as a deformable solid, M. O. Tahim, R. R. Landim, and C. A. S. Almeida, Arxiv.
- ↑ Dadhich, Naresh (Agosto de 2005). «Amal Kumar Raychaudhuri (1923–2005)» (PDF). Current Science. 89: 569–570
- ↑ The large scale structure of space-time by Stephen W. Hawking and G. F. R. Ellis, Cambridge University Press, 1973, p. 84, ISBN 0-521-09906-4.
- ↑ Gibbons, G. W.; Shellard, E. P. S.; Rankin, S. J. (23 de outubro de 2003). The Future of Theoretical Physics and Cosmology: Celebrating Stephen Hawking's Contributions to Physics. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 177. ISBN 978-0-521-82081-3
- ↑ «Brookfield Engineering - Glossary section on Viscosity Terms». Consultado em 10 de junho de 2007. Arquivado do original em 9 de junho de 2007
- ↑ Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. [S.l.]: Westview Press. ISBN 978-0201503975
- ↑ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization (pdf). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3
- ↑ Golshtein, E. G.; Tretyakov, N.V. (1996). Modified Lagrangians and monotone maps in optimization. [S.l.]: New York: Wiley. p. 6. ISBN 0-471-54821-9
- ↑ Baldauf, Tobias; Seljak, Uros; Desjacques, Vincent; McDonald, Patrick (13 de janeiro de 2018). «Evidence for Quadratic Tidal Tensor Bias from the Halo Bispectrum». Physical Review D. 86 (8). Bibcode:2012PhRvD..86h3540B. arXiv:1201.4827
. doi:10.1103/PhysRevD.86.083540
