Em matemática , o conjugado de um número complexo z = a + b i {\displaystyle z=a+bi\,\!} é o número representado por z ¯ = a − b i {\displaystyle {\overline {z}}=a-bi\,\!} . Possui grande utilidade nos cálculos com variáveis complexas, além de representar a reflexão do número em torno do eixo das abcissas no Plano de Argand-Gauss .
| z | = | z ¯ | {\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|\,} (O módulo do conjugado de um número é o mesmo módulo do número) z ⋅ z ¯ = | z | 2 {\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=|z|^{2}\,} (o produto de um número pelo seu conjugado é o quadrado do módulo do número) z + z ¯ = 2 R e ( z ) {\displaystyle z+{\overline {z}}=2Re(z)\,} (a soma de um número ao seu conjugado é o dobro da parte real do número) z − z ¯ = 2 I m ( z ) {\displaystyle z-{\overline {z}}=2Im(z)\,} (a subtração de um número ao seu conjugado é o dobro da parte imaginária do número) Uma vez um número complexo z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} ou z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} é dado, seu conjugado é suficiente para reproduzir as partes da variável z:
Parte real: x = Re ( z ) = z + z ¯ 2 {\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}} Parte imaginária: y = Im ( z ) = z − z ¯ 2 i {\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}} Módulo: r = | z | = z z ¯ {\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}} Argumento: e i θ = e i arg z = z z ¯ {\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}}} , então θ = arg z = 1 i ln z z ¯ = ln z − ln z ¯ 2 i {\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}} Além disso, z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} pode ser usado para especificar linhas no plano:
{ z ∣ z r ¯ + z ¯ r = 0 } {\displaystyle \left\{z\mid z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}
O conjunto é uma linha através da origem e perpendicular a r ¯ {\displaystyle {\overline {r}}} desde a parte real de z ⋅ r ¯ {\displaystyle z\cdot {\overline {r}}} é zero apenas quando o cosseno do ângulo entre z {\displaystyle z} e r ¯ {\displaystyle {\overline {r}}} é zero. Da mesma forma, para uma unidade complexa fixa u = exp (b i), a equação
z − z 0 z ¯ − z 0 ¯ = u {\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u}
determina a linha através z 0 {\displaystyle z_{0}} na direção de u.
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