Em matemática , a conjetura Oesterlé–Masser ou conjetura abc é um problema em aberto em teoria dos números . Ela foi primeiramente proposta por Joseph Oesterlé [ 1] e David Masser [ 2] respetivamente em 1988 e 1985 . A conjectura do ABC teve origem como resultado de tentativas de Oesterlé e Masser de entender a conjectura de Szpiro sobre curvas elípticas , que envolve estruturas mais geométricas em sua afirmação do que a conjectura abc. A conjectura abc mostrou-se equivalente à conjectura modificada de Szpiro.
Uma série de conjecturas famosas e teoremas na teoria dos números seguiriam imediatamente da conjectura abc ou de suas versões. Goldfeld (1996) descreveu a conjectura do ABC como "o problema não resolvido mais importante na análise diofantina ".
Em agosto de 2012 , o matemático Shinichi Mochizuki [ 3] disponibilizou uma série de quatro artigos contendo uma séria alegação que ele tinha obtido uma demonstração da conjetura abc[ 4] . Três anos depois, 2015, a prova de Mochizuki permanece no limbo matemático - nem desmentida nem aceita pela comunidade em geral. Mochizuki estimou que levaria a um estudante de graduação de matemática cerca de 10 anos para ser capaz de entender o seu trabalho, e muitos especialistas acreditam que levaria até mesmo um especialista em geometria aritmética cerca de 500 horas. Até agora, apenas quatro matemáticos dizem terem sido capazes de ler e entender a prova inteira.
Seja a,b,c ∈ N , de tal forma que temos c = b + a , ao fazer as operações necessárias chegaremos em c 2 k = b 2 k + a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) {\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})} ou c 2 k = b 2 k + a . ∏ i = 0 k − 1 ( b 2 i + c 2 i ) {\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})} , com k ∈ N e i índice, onde rad [ c . b . a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) ] > c 2 k {\displaystyle c.b.a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})]>c^{2^{k}}} ou rad [ c . b . a . ∏ i = 0 k − 1 ( b 2 i + c 2 i ) ] > c 2 k {\displaystyle c.b.a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})]>c^{2^{k}}} .
Dado a equação c = b + a ao multiplicar ambos os lados por b resulta em c . b = b 2 + a . b {\displaystyle c.b=b^{2}+a.b} , como b = c- a ao substituir no primeiro membro da igualdade temos c . ( c − a ) = b 2 + a . b {\displaystyle c.(c-a)=b^{2}+a.b} ⇒ c 2 − a . c = b 2 + a . b {\displaystyle c^{2}-a.c=b^{2}+a.b} ⇒ c 2 = b 2 + a . b + a . c {\displaystyle c^{2}=b^{2}+a.b+a.c} ⇒ c 2 = b 2 + a . ( b + c ) {\displaystyle c^{2}=b^{2}+a.(b+c)} ( & ) .
Ao Multiplicar ( & ) por c 2 {\displaystyle c^{2}} temos c 4 = b 2 . c 2 + a . c 2 . ( b + c ) {\displaystyle c^{4}=b^{2}.c^{2}+a.c^{2}.(b+c)} ao substituir o 1ª c 2 {\displaystyle c^{2}} por b 2 + a . ( b + c ) {\displaystyle b^{2}+a.(b+c)} , temos c 4 = b 2 . [ b 2 + a . ( b + c ) ] + a . c 2 . ( b + c ) {\displaystyle c^{4}=b^{2}.[b^{2}+a.(b+c)]+a.c^{2}.(b+c)} ⇒ c 4 = b 4 + a . b 2 . ( b + c ) + a . c 2 . ( b + c ) {\displaystyle c^{4}=b^{4}+a.b^{2}.(b+c)+a.c^{2}.(b+c)} ⇒ c 4 = b 4 + a . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) {\displaystyle c^{4}=b^{4}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2})} ( && ) .
Ao Multiplicar ( && ) por c 4 {\displaystyle c^{4}} temos c 8 = b 4 . c 4 + a . c 4 . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) {\displaystyle c^{8}=b^{4}.c^{4}+a.c^{4}.(b+c).(b^{2}+c^{2})} ao substituir o 1ª c 4 {\displaystyle c^{4}} por b 4 + a . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) {\displaystyle b^{4}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2})} , temos c 8 = b 4 . [ b 4 + a . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) ] + a . c 4 . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) {\displaystyle c^{8}=b^{4}.[b^{4}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2})]+a.c^{4}.(b+c).(b^{2}+c^{2})} ⇒ c 8 = b 8 + a . b 4 . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) + a . c 4 . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) {\displaystyle c^{8}=b^{8}+a.b^{4}.(b+c).(b^{2}+c^{2})+a.c^{4}.(b+c).(b^{2}+c^{2})} ⇒ c 8 = b 8 + a . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) . ( b 4 + c 4 ) {\displaystyle c^{8}=b^{8}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})} ( &&& ) .
Ao Multiplicar ( &&& ) por c 8 {\displaystyle c^{8}} temos c 16 = b 8 . c 8 + a . c 8 . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) . ( b 4 + c 4 ) {\displaystyle c^{16}=b^{8}.c^{8}+a.c^{8}.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})} ao substituir o 1ª c 8 {\displaystyle c^{8}} por b 8 + a . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) . ( b 4 + c 4 ) {\displaystyle b^{8}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})} , temos c 16 = b 8 . [ b 8 + a . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) . ( b 4 + c 4 ) ] + a . c 8 . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) . ( b 4 + c 4 ) {\displaystyle c^{16}=b^{8}.[b^{8}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})]+a.c^{8}.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})} ⇒ c 16 = b 16 + a . b 8 . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) . ( b 4 + c 4 ) + a . c 8 . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) . ( b 4 + c 4 ) {\displaystyle c^{16}=b^{16}+a.b^{8}.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})+a.c^{8}.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4})} ⇒ c 16 = b 16 + a . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) . ( b 4 + c 4 ) . ( b 8 + c 8 ) {\displaystyle c^{16}=b^{16}+a.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4}).(b^{8}+c^{8})} ( &&&& ) .
Se continuarmos com a mesma lógica matemática teremos uma sequência no 1ª membro como S k ( 1 ) : c 1 , c 2 , c 4 , c 8 , c 16 , . . . , c 2 k {\displaystyle S_{k}(1):c^{1},c^{2},c^{4},c^{8},c^{16},...,c^{2^{k}}} com k≥0 ,o mesmo ocorre com o 2ª membro em relação a potência isso é S k ( 2 ) : b 1 , b 2 , b 4 , b 8 , b 16 , . . . , b 2 k {\displaystyle S_{k}(2):b^{1},b^{2},b^{4},b^{8},b^{16},...,b^{2^{k}}} com k≥0 , note que a outra parte do 2ª membro temos; a . ( b + c ) . ( b 2 + c 2 ) . ( b 4 + c 4 ) . ( b 8 + c 8 ) . ( b 16 + c 16 ) . ( b 32 + c 32 ) . . . ( b 2 k − 1 + c 2 k − 1 ) {\displaystyle a.(b+c).(b^{2}+c^{2}).(b^{4}+c^{4}).(b^{8}+c^{8}).(b^{16}+c^{16}).(b^{32}+c^{32})...(b^{2^{k-1}}+c^{2^{k-1}})} (Pro) , mas ao ignorarmos a o restante é um produtório sendo assim podemos escrever (Pro) como P r o = a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) {\displaystyle Pro=a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})} ou P r o = a . ∏ i = 0 k − 1 ( b 2 i + c 2 i ) {\displaystyle Pro=a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})} .
Portanto temos como equações:
c 2 k = b 2 k + a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) {\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})} ou c 2 k = b 2 k + a . ∏ i = 0 k − 1 ( b 2 i + c 2 i ) {\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})} , desde que c = b + a
Se caso c for primo temos que rad( c 2 k {\displaystyle c^{2^{k}}} )=c , o mesmo para b se for primo rad( b 2 k {\displaystyle b^{2^{k}}} )=b , caso algum seja um número composto teremos; c = ∏ j = 1 ω ( c ) p j α j {\displaystyle c=\prod _{j=1}^{\omega (c)}p_{j}^{\alpha _{j}}} ⇒ rad ( c 2 k {\displaystyle c^{2^{k}}} )=rad ( c = ∏ j = 1 ω ( c ) p j α j {\displaystyle c=\prod _{j=1}^{\omega (c)}p_{j}^{\alpha _{j}}} ) = p 1 . p 2 . p 3 . p 4 . . . p j {\displaystyle =p_{1}.p_{2}.p_{3}.p_{4}...p_{j}} , com p j {\displaystyle p_{j}} primos, de forma análoga temos rad ( b 2 k {\displaystyle b^{2^{k}}} )=rad ( b = ∏ j = 1 ω ( b ) p j α j {\displaystyle b=\prod _{j=1}^{\omega (b)}p_{j}^{\alpha _{j}}} ) = p 1 . p 2 . p 3 . p 4 . . . p j {\displaystyle =p_{1}.p_{2}.p_{3}.p_{4}...p_{j}} , todavia (Pro) já é composto então rad(Pro) = r a d ( r a d ( a ) . p 1 . p 2 . p 3 . p 4 . . . p j ) {\displaystyle =rad(rad(a).p_{1}.p_{2}.p_{3}.p_{4}...p_{j})} ≥ q . p 1 . p 2 . p 3 . p 4 . . . p j {\displaystyle q.p_{1}.p_{2}.p_{3}.p_{4}...p_{j}} . Onde rad(a)≥q com q um número primo.
Então rad ( a , b , c {\displaystyle a,b,c} ) = rad ( c 2 k . b 2 k . P r o {\displaystyle c^{2^{k}}.b^{2^{k}}.Pro} ) ≥ r a d ( c . b . a . r a d ( P r o ) ) {\displaystyle rad(c.b.a.rad(Pro))} > c 2 k {\displaystyle >c^{2^{k}}} . isso é valido pois c > b ou c > a e b ≥ a ou a ≥ b , já que c = b + a .
Possibilidades seja c=13 , então b + a, há uma finidade de combinação tipo b = 10 e a = 3 , b = 11 e a = 2, b = 9 e a = 4, b = 8 e a = 5, pode ser qualquer combinação nos naturais dede que c = b + a, o mais simples nesse caso é b=12 e a=1.
Exemplo(1) dada a igualdade 13 = 7 + 6 então c=13, b=7 e a=6 ou 13 = 6 + 7 então c=13, a=7 e b=6 (Usando qualquer uma será valida) , com k variando de 1 até 3, optando por c=13, b=7 e a=6 temos:
Para k=1 isso é;
c 2 k = b 2 k + a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) {\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})} ⇒ 13 2 1 = 7 2 1 + 6. ∏ i = 1 1 ( 7 2 i − 1 + 13 2 i − 1 ) {\displaystyle 13^{2^{1}}=7^{2^{1}}+6.\prod _{i=1}^{1}(7^{2^{i-1}}+13^{2^{i-1}})} ⇒ 13 2 = 7 2 + 6. ( 7 2 0 + 13 2 0 ) {\displaystyle 13^{2}=7^{2}+6.(7^{2^{0}}+13^{2^{0}})} ⇒ 13 2 = 7 2 + 6. ( 7 + 13 ) {\displaystyle 13^{2}=7^{2}+6.(7+13)} 13 2 = 7 2 + 6.20 {\displaystyle 13^{2}=7^{2}+6.20} ⇒ 13 2 = 7 2 + 2.3.5.2 2 {\displaystyle 13^{2}=7^{2}+2.3.5.2^{2}} ⇒ 13 2 = 7 2 + 2 3 .3 .5 {\displaystyle 13^{2}=7^{2}+2^{3}.3.5} então rad ( 13 2 .7 2 .2 3 .3 .5 {\displaystyle 13^{2}.7^{2}.2^{3}.3.5} ) = 13.7.2.3.5 = 2730 > 13 2 = 169 {\displaystyle =13.7.2.3.5=2730>13^{2}=169} Para k=2 isso é;
c 2 k = b 2 k + a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) {\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})} ⇒ 13 2 2 = 7 2 2 + 6. ∏ i = 1 2 ( 7 2 i − 1 + 13 2 i − 1 ) {\displaystyle 13^{2^{2}}=7^{2^{2}}+6.\prod _{i=1}^{2}(7^{2^{i-1}}+13^{2^{i-1}})} ⇒ 13 4 = 7 4 + 6. ( 7 1 + 13 1 ) . ( 7 2 + 13 2 ) {\displaystyle 13^{4}=7^{4}+6.(7^{1}+13^{1}).(7^{2}+13^{2})} ⇒ 13 4 = 7 4 + 6.20. ( 49 + 169 ) {\displaystyle 13^{4}=7^{4}+6.20.(49+169)} ⇒ 13 4 = 7 4 + 6.20.218 {\displaystyle 13^{4}=7^{4}+6.20.218} ⇒ 13 4 = 7 4 + 2 4 .3 .5 .109 {\displaystyle 13^{4}=7^{4}+2^{4}.3.5.109} então rad ( 13 4 .7 4 .2 4 .3 .5 .109 {\displaystyle 13^{4}.7^{4}.2^{4}.3.5.109} ) = 13.7.2.3.5.109 = 297570 > 13 4 = 28561 {\displaystyle =13.7.2.3.5.109=297570>13^{4}=28561} Para k=3 isso é;
c 2 k = b 2 k + a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) {\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})} ⇒ 13 2 3 = 7 2 3 + 6. ∏ i = 1 3 ( 7 2 i − 1 + 13 2 i − 1 ) {\displaystyle 13^{2^{3}}=7^{2^{3}}+6.\prod _{i=1}^{3}(7^{2^{i-1}}+13^{2^{i-1}})} ⇒ 13 8 = 7 8 + 6. ( 7 1 + 13 1 ) . ( 7 2 + 13 2 ) . ( 7 4 + 13 4 ) {\displaystyle 13^{8}=7^{8}+6.(7^{1}+13^{1}).(7^{2}+13^{2}).(7^{4}+13^{4})} ⇒ 13 8 = 7 8 + 6. ( 20 ) . ( 218 ) . ( 2401 + 28561 ) {\displaystyle 13^{8}=7^{8}+6.(20).(218).(2401+28561)} ⇒ 13 8 = 7 8 + 2 4 .3 .5 .109 . ( 2401 + 28561 ) {\displaystyle 13^{8}=7^{8}+2^{4}.3.5.109.(2401+28561)} ⇒ 13 8 = 7 8 + 2 4 .3 .5 .109 . ( 30962 ) {\displaystyle 13^{8}=7^{8}+2^{4}.3.5.109.(30962)} ⇒ 13 8 = 7 8 + 2 4 .3 .5 .109 . ( 2.113.137 ) {\displaystyle 13^{8}=7^{8}+2^{4}.3.5.109.(2.113.137)} ⇒ 13 8 = 7 8 + 2 5 .3 .5 .109 .113 .137 {\displaystyle 13^{8}=7^{8}+2^{5}.3.5.109.113.137} então rad ( 13 8 .7 8 .2 5 .3 .5 .109 .113 .137 {\displaystyle 13^{8}.7^{8}.2^{5}.3.5.109.113.137} ) = 13.7.2.3.5.109.113.137 = 4606681170 > 13 8 = 815730721 {\displaystyle =13.7.2.3.5.109.113.137=4606681170>13^{8}=815730721} Suponhamos que queremos encontrar certos divisores das diferenças de duas potências que tenham essas propriedades descritas anteriormente, exemplo o Pequeno Teorema de Fermat que é a p − 1 {\displaystyle a^{p-1}} ≡ 1 m o d ( p ) {\displaystyle 1mod(p)} , com a ∈ Ζ e p primo, de forma algébrica isso é ∃ t ∈ Z tal que t = a p − 1 − 1 p {\displaystyle t={\frac {a^{p-1}-1}{p}}} .
Nesse caso do pequeno teorema de Fermat em relação a formula, temos a seguinte situação particular, transcrevendo a forma algébrica do pequeno teorema de Fermat para se adequar isso é p − 1 = 2 k {\displaystyle p-1=2^{k}} ⇒ p = 2 k + 1 {\displaystyle p=2^{k}+1} , como c = a + b {\displaystyle c=a+b} gerou
c 2 k = b 2 k + a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) {\displaystyle c^{2^{k}}=b^{2^{k}}+a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})} ⇒ a . ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) = c 2 k − b 2 k {\displaystyle a.\prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})=c^{2^{k}}-b^{2^{k}}} , então usando as adaptações isso é no lugar de c=a , b=1 , e a=p isso nos dar como fórmula;
p . ∏ i = 1 k ( 1 2 i − 1 + a 2 i − 1 ) = a 2 k − 1 2 k {\displaystyle p.\prod _{i=1}^{k}(1^{2^{i-1}}+a^{2^{i-1}})=a^{2^{k}}-1^{2^{k}}} ⇒ p . ∏ i = 1 k ( 1 2 i − 1 + a 2 i − 1 ) = a p − 1 − 1 {\displaystyle p.\prod _{i=1}^{k}(1^{2^{i-1}}+a^{2^{i-1}})=a^{p-1}-1} ⇒ ∏ i = 1 k ( 1 + a 2 i − 1 ) = a p − 1 − 1 p {\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(1+a^{2^{i-1}})={\frac {a^{p-1}-1}{p}}} ⇔ p = 2 k + 1 {\displaystyle p=2^{k}+1} e a = p + 1 {\displaystyle a=p+1} Portanto os divisores de a p − 1 − 1 {\displaystyle a^{p-1}-1} é p e ∏ i = 1 k ( 1 + a 2 i − 1 ) = t {\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(1+a^{2^{i-1}})=t} .
Para facilitar as operações a fórmula para o Pequeno Teorema de Fermat pode ficar escrita como;
∏ i = 1 k ( 1 + ( p + 1 ) 2 i − 1 ) = ( p + 1 ) p − 1 − 1 p {\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{p}}} ⇒ p = ( p + 1 ) p − 1 − 1 ∏ i = 1 k ( 1 + ( p + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}} ⇔ p = 2 k + 1 {\displaystyle p=2^{k}+1} Isso significa se p não for primo então t ∈ Q baseado no Teorema Pequeno teorema de Fermat.
para k=1 então p = 2 k + 1 = 2 1 + 1 = 3 {\displaystyle p=2^{k}+1=2^{1}+1=3}
p = ( p + 1 ) p − 1 − 1 ∏ i = 1 k ( 1 + ( p + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}} ⇒ 3 = ( 3 + 1 ) 3 − 1 − 1 ∏ i = 1 1 ( 1 + ( 3 + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle 3={\frac {(3+1)^{3-1}-1}{\prod _{i=1}^{1}(1+(3+1)^{2^{i-1}})}}} ⇒ 3 = 4 2 − 1 ( 1 + ( 4 ) 2 0 ) {\displaystyle 3={\frac {4^{2}-1}{(1+(4)^{2^{0}})}}} ⇒ 3 = 16 − 1 ( 1 + 4 ) {\displaystyle 3={\frac {16-1}{(1+4)}}} ⇒ 3 = 15 5 {\displaystyle 3={\frac {15}{5}}} ⇒ 3 = 3 {\displaystyle 3=3} Satisfez a igualdade então 3 é primo .
para k=2 então p = 2 k + 1 = 2 2 + 1 = 5 {\displaystyle p=2^{k}+1=2^{2}+1=5}
p = ( p + 1 ) p − 1 − 1 ∏ i = 1 k ( 1 + ( p + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}} ⇒ 5 = ( 5 + 1 ) 5 − 1 − 1 ∏ i = 1 2 ( 1 + ( 5 + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle 5={\frac {(5+1)^{5-1}-1}{\prod _{i=1}^{2}(1+(5+1)^{2^{i-1}})}}} ⇒ 5 = 6 4 − 1 ( 1 + 6 ) . ( 1 + 6 2 ) {\displaystyle 5={\frac {6^{4}-1}{(1+6).(1+6^{2})}}} ⇒ 5 = 1296 − 1 7.37 {\displaystyle 5={\frac {1296-1}{7.37}}} ⇒ 5 = 1295 7.37 {\displaystyle 5={\frac {1295}{7.37}}} ⇒ 5 = 5.7.37 7.37 {\displaystyle 5={\frac {5.7.37}{7.37}}} ⇒ 5 = 5 {\displaystyle 5=5} Satisfez a igualdade então 5 é primo .
O que irão ver quando k=3 e k=5, é uma contradição do Pequeno teorema de Fermat, o que o pequeno Teorema de Fermat diz ? seja mdc(a,p)=1 isso é a e p primo entre se, então p / ( a p − 1 − 1 ) {\displaystyle p/(a^{p-1}-1)} ⇔ p {\displaystyle p} for primo, intenda que mdc( p + 1 , p) = 1 .
para k=3 então p = 2 k + 1 = 2 3 + 1 = 9 {\displaystyle p=2^{k}+1=2^{3}+1=9}
p = ( p + 1 ) p − 1 − 1 ∏ i = 1 k ( 1 + ( p + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}} ⇒ 9 = ( 9 + 1 ) 9 − 1 − 1 ∏ i = 1 3 ( 1 + ( 9 + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle 9={\frac {(9+1)^{9-1}-1}{\prod _{i=1}^{3}(1+(9+1)^{2^{i-1}})}}} ⇒ 9 = 10 8 − 1 ( 1 + 10 ) . ( 1 + 10 2 ) . ( 1 + 10 4 ) {\displaystyle 9={\frac {10^{8}-1}{(1+10).(1+10^{2}).(1+10^{4})}}} Calculo da contradição Satisfez a igualdade porém 9 não é primo, note que o mdc(10,9)=1, então a divisão não era para ter resultado em um inteiro porém foi o que ocorreu então é uma falha no pequeno teorema de Fermat.
para k=4 então p = 2 k + 1 = 2 4 + 1 = 17 {\displaystyle p=2^{k}+1=2^{4}+1=17}
p = ( p + 1 ) p − 1 − 1 ∏ i = 1 k ( 1 + ( p + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}} ⇒ 17 = ( 17 + 1 ) 17 − 1 − 1 ∏ i = 1 4 ( 1 + ( 17 + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle 17={\frac {(17+1)^{17-1}-1}{\prod _{i=1}^{4}(1+(17+1)^{2^{i-1}})}}} ⇒ 17 = 18 16 − 1 ( 1 + 18 ) . ( 1 + 18 2 ) . ( 1 + 18 4 ) . ( 1 + 18 8 ) {\displaystyle 17={\frac {18^{16}-1}{(1+18).(1+18^{2}).(1+18^{4}).(1+18^{8})}}} ⇒ Quando k é 4 Satisfez a igualdade então 17 é primo .
para k=5 então p = 2 k + 1 = 2 5 + 1 = 33 {\displaystyle p=2^{k}+1=2^{5}+1=33}
p = ( p + 1 ) p − 1 − 1 ∏ i = 1 k ( 1 + ( p + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle p={\frac {(p+1)^{p-1}-1}{\prod _{i=1}^{k}(1+(p+1)^{2^{i-1}})}}} ⇒ 33 = ( 33 + 1 ) 33 − 1 − 1 ∏ i = 1 5 ( 1 + ( 33 + 1 ) 2 i − 1 ) {\displaystyle 33={\frac {(33+1)^{33-1}-1}{\prod _{i=1}^{5}(1+(33+1)^{2^{i-1}})}}} ⇒ 33 = 34 32 − 1 ( 1 + 34 ) . ( 1 + 34 2 ) . ( 1 + 34 4 ) . ( 1 + 34 8 ) . ( 1 + 34 16 ) {\displaystyle 33={\frac {34^{32}-1}{(1+34).(1+34^{2}).(1+34^{4}).(1+34^{8}).(1+34^{16})}}} Quando k é 5 Satisfez a igualdade porém 33 não é primo, portanto outra falha do Pequeno Teorema de Fermat .
Sempre que haver uma diferença de duas potências do tipo c 2 k − b 2 k {\displaystyle c^{2^{k}}-b^{2^{k}}} é sempre divisível por a e ∏ i = 1 k ( b 2 i − 1 + c 2 i − 1 ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(b^{2^{i-1}}+c^{2^{i-1}})} ou ∏ i = 0 k − 1 ( b 2 i + c 2 i ) {\displaystyle \prod _{i=0}^{k-1}(b^{2^{i}}+c^{2^{i}})} , dito isso é só adaptar as as bases e expoentes necessário como foi feito para o Pequeno teorema de Fermat .
Referências ↑ Oesterlé, J., Nouvelles approches du "théorème" de Fermat, Astérisque, Séminaire Bourbaki, (1988) 694 (161): 165-186 ↑ Masser, D. W., Open problems, in Chen, W. W. L., Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory (1985), London: Imperial College. ↑ ICM Proceedings 1893-2010 ↑ A CONJECTURA abc Arquivado em 3 de março de 2016, no Wayback Machine . por Julio C. Andrade