Zbiór gęsty

Zbiór gęsty – zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny^[1]. W przestrzeni metrycznej ${\displaystyle (X,d)}$ zbiór ${\displaystyle D\subset X}$ nazywamy gęstym jeśli dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ i liczby ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje element ${\displaystyle q\in D}$ taki, że ${\displaystyle d(x,q)<\varepsilon ,}$ tzn. dowolnie blisko każdego elementu ${\displaystyle x\in X}$ znajduje się jakiś element z ${\displaystyle D.}$

Przestrzeń topologiczną, która zawiera przeliczalny zbiór gęsty nazywa się przestrzenią ośrodkową. W przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ jej podzbiór ${\displaystyle A\subset X}$ nazywamy zbiorem nigdziegęstym, jeśli nie jest gęsty w żadnym niepustym zbiorze otwartym.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

• zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są gęstymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych z naturalną (euklidesową) metryką.

• Zbiór wielomianów jest gęstym podzbiorem zbioru funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym z metryką supremum (Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa).

• Zbiór funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie (takich jak Funkcja Weierstrassa) jest gęstym podzbiorem zbioru funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym z metryką supremum.

• Zbiór funkcji prostych jest gęsty w zbiorze funkcji całkowalnych z metryką generowaną przez normę ${\displaystyle L^{1}}$. Jeśli miara jest miarą Radona to również zbiór funkcji ciągłych jest podzbiorem gęstym.

• Zbiór wielomianów trygonometrycznych jest gęsty w zbiorze funkcji ciągłych i okresowych o okresie ${\displaystyle 2\pi }$ z metryką supremum, co może posłużyć do konstrukcji podzbioru gęstego w zbiorze funkcji ciągłych okresowych o dowolnym danym okresie.
• Dopełnienia zbiorów pierwszej kategorii w przestrzeniach Baire’a są zbiorami gęstymi.
• Zbiory pełnej miary Lebesgue’a na prostej są zbiorami gęstymi.
• Przecięcie dwóch zbiorów gęstych może być zbiorem pustym, np. zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są gęste na prostej, ale ich część wspólna jest zbiorem pustym. Istnieją przestrzenie topologiczne, które nie zawierają więcej niż dwóch rozłącznych podzbiorów gęstych, tzw. irresolvable spaces.

Teoria mnogości[edytuj | edytuj kod]

Zbiór gęsty (w sobie) – w teorii mnogości podzbiór ${\displaystyle D}$ częściowego porządku ${\displaystyle (P,<)}$ taki, że^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle \forall _{p\in P}\;\exists _{d\in D}\;d<p.}$

Przypisy[edytuj | edytuj kod]