Zasada zachowania momentu pędu – jedna z zasad zachowania w mechanice .
Treść zasady:
Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała.
W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco:
Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.
co można zapisać wzorem
const L → {\displaystyle \operatorname {const} {\vec {L}}} lub
d L → d t = 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=0,} przy czym wzór ten można traktować jako szczególny przypadek równania wyrażającego zależność momentu pędu od momentu siły M {\displaystyle M}
d L → d t = M → . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}.} Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu
L → = I ω → {\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}} (przykład definicji momentu pędu dla ustalonej osi) wynika, że prędkość kątowa ω {\displaystyle \omega } rośnie, gdy maleje moment bezwładności I . {\displaystyle I.}
Jedną z konsekwencji zasady zachowania momentu pędu są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych , dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe ) uzyskiwane na skutek kolapsu grawitacyjnego i zmniejszenia momentu bezwładności.
Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.
Moment pędu układu N {\displaystyle N} cząstek można zapisać
L → = ∑ i = 1 N r i → × ( m i r i → ˙ ) . {\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}}).} Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie, otrzymujemy
d L → d t = ∑ i = 1 N r i → ˙ × ( m i r i → ˙ ) + ∑ i = 1 N r i → × ( m i r i → ¨ ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\vec {r_{i}}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}})+\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}).} Ponieważ iloczyn wektorowy r i → ˙ × r i → ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\vec {r_{i}}}}\times {\dot {\vec {r_{i}}}}=0} oraz m i r i → ¨ = F i → , {\displaystyle m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}={\vec {F_{i}}},} to pozostaje tylko obliczyć iloczyn r i → × F i → . {\displaystyle {\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}.}
W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony F → i j {\displaystyle {\vec {F}}_{ij}} ) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu
∑ i = 1 N r i → × F i → = ∑ i = 1 N ( r i → × ( ∑ i ≠ j N F i j → + F i → ′ ) ) = ∑ i = 1 N r → i × F → i ′ . {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}({\vec {r_{i}}}\times (\sum _{i\neq j}^{N}{\vec {F_{ij}}}+{\vec {F_{i}}}'))=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}'.} Ponieważ
F i j → = − F j i → , {\displaystyle {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {F_{ji}}},} to
r i → × F i j → = − r j → × F j i → , {\displaystyle {\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {r_{j}}}\times {\vec {F_{ji}}},} a dla każdej siły
F i j → {\displaystyle {\vec {F_{ij}}}} występuje siła
F j i → . {\displaystyle {\vec {F_{ji}}}.} Stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.
Zatem
d L → d t = ∑ i = 1 N r i → × F i → ′ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}'.} Jeżeli układ jest odosobniony, to
F → i ′ = 0 , {\displaystyle {\vec {F}}_{i}'=0,} czyli
const L → . {\displaystyle \operatorname {const} {\vec {L}}.} podstawowe zasady zachowania konsekwencje i szczególne postacie powiązane tematy naukowcy