Abraham de Moivre Wzór de Moivre’a – wzór na n -tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.
Jeżeli z = | z | ( cos φ + i sin φ ) {\displaystyle z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )} n {\displaystyle n} [1]
z n = | z | n ( cos n φ + i sin n φ ) . {\displaystyle z^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).} Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania ):
z 1 n = ( | z | ( cos φ + i sin φ ) ) 1 n = | z | 1 n ( cos ( φ + 2 k π n ) + i sin ( φ + 2 k π n ) ) , k ∈ { 0 , … , n − 1 } . {\displaystyle z^{\frac {1}{n}}={\big (}|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi ){\big )}^{\frac {1}{n}}=|z|^{\frac {1}{n}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right),\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.} Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku[2] [3]
Dla n = 1 {\displaystyle n=1}
Niech wzór jest prawdziwy dla n = k , {\displaystyle n=k,}
z k = | z | k ( cos k φ + i sin k φ ) . {\displaystyle z^{k}=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi ).} Wówczas dla n = k + 1 {\displaystyle n=k+1}
z k + 1 = z k z = | z | k ( cos k φ + i sin k φ ) ⋅ | z | ( cos φ + i sin φ ) = | z | k + 1 ( cos k φ cos φ + i cos k φ sin φ + i sin k φ cos φ − sin k φ sin φ ) = | z | k + 1 ( cos k φ cos φ − sin k φ sin φ + i ( sin k φ cos φ + cos k φ sin φ ) ) = | z | k + 1 ( cos ( k + 1 ) φ + i sin ( k + 1 ) φ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}z^{k+1}&=z^{k}z=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi )\cdot |z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos \varphi +i\cos k\varphi \sin \varphi +i\sin k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi +i(\sin k\varphi \cos \varphi +\cos k\varphi \sin \varphi ){\big )}\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos(k+1)\varphi +i\sin(k+1)\varphi {\big )}.\end{aligned}}} Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego n . {\displaystyle n.}
Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych :
z − n = ( z − 1 ) n = ( z ¯ | z | 2 ) n = | z | n ( cos φ − i sin φ ) n | z | 2 n = | z | − n ( cos ( − n φ ) + i sin ( − n φ ) ) . {\displaystyle z^{-n}=\left(z^{-1}\right)^{n}=\left({\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\right)^{n}={\frac {|z|^{n}\left(\cos \varphi -i\sin \varphi \right)^{n}}{|z|^{2n}}}=|z|^{-n}{\big (}\cos(-n\varphi )+i\sin(-n\varphi ){\big )}.} Zespolony pierwiastek n -tego stopnia z 1 [ edytuj | edytuj kod ] Należy zwrócić uwagę, że
1 1 n = 1 n = cos 2 k π n + i sin 2 k π n , k ∈ { 0 , … , n − 1 } . {\displaystyle 1^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{1}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.} Interpretacja z 1 n {\displaystyle z^{\frac {1}{n}}} [ edytuj | edytuj kod ] Jeżeli liczbę zespoloną z {\displaystyle z} z = ( ℜ ( z ) , ℑ ( z ) ) , {\displaystyle z={\big (}\Re (z),\Im (z){\big )},} z 1 n {\displaystyle z^{\frac {1}{n}}} n {\displaystyle n} 2 π / n {\displaystyle 2\pi /n} ( 0 , 0 ) . {\displaystyle (0,0).}
![{\displaystyle 1^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{1}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca33076500b6a43faa362b6427a6fc37418595e)
Jeff Miller, De Moivre’s theorem, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-18]. 
