Układ równań

Układ równań – koniunkcja pewnej liczby równań; liczba ta może być nieskończona^[1][2].

Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych, funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy rozwiązaniem układu równań jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.

Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej Babilonii. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.

Układy równań liniowych[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: układ równań liniowych.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. Wśród metod rozwiązywania układów równań można wymienić następujące:

• przez podstawianie (wyznaczenie jednej zmiennej z jednego równania i podstawianie do innego tak, by ostatecznie otrzymać jedno równanie),
• przeciwnych współczynników (zmiana współczynników tak, aby po dodaniu równań stronami niektóre ze zmiennych uległy redukcji),
• wzory Cramera,
• metoda eliminacji Gaussa.

W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje tabela:

Nazwa układu równań	Rozwiązanie algebraiczne	Warunek i przykład	Interpretacja graficzna
Oznaczony	rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb (x, y)	${\displaystyle W\neq 0,}$ ${\displaystyle {\begin{cases}x-y=4\\[2pt]2x+y=5\end{cases}}}$	dwie proste przecinające się
Nieoznaczony	nieskończenie wiele rozwiązań	${\displaystyle W=0,~W_{x}=W_{y}=0}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4x+5y=2\\[2pt]8x+10y=4\end{cases}}}$	dwie proste pokrywające się
Sprzeczny	brak rozwiązań	${\displaystyle W=0,~W_{x}\neq 0}$ lub ${\displaystyle W_{y}\neq 0}$ ${\displaystyle {\begin{cases}x+y=3\\[2pt]x+y=8\end{cases}}}$	dwie różne proste równoległe

Przypisy[edytuj | edytuj kod]