Powinowactwo osiowe

Powinowactwo osiowe – rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Powinowactwo osiowe ${\displaystyle f}$ o osi ${\displaystyle k}$ jest to takie przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie, w którym prosta ${\displaystyle k}$ jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.

Równoważna definicja: Odwzorowanie geometryczne ${\displaystyle f}$ na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi ${\displaystyle k,}$ jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej ${\displaystyle k}$ i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi ${\displaystyle k.}$

Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi ${\displaystyle k{:}}$ dowolny punkt ${\displaystyle A}$ i jego obraz punkt ${\displaystyle A'.}$

Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.

Stosunek powinowactwa jest to liczba ${\displaystyle s}$ spełniająca warunek: ${\displaystyle {\vec {A_{P}'A'}}=s\cdot {\vec {A_{P}A}},}$ gdzie punkty ${\displaystyle A_{P}}$ i ${\displaystyle A'_{P}}$ są rzutami prostokątnymi punktu ${\displaystyle A}$ i jego obrazu ${\displaystyle A'}$ na oś ${\displaystyle k.}$

Własności[edytuj | edytuj kod]

• Dla dowolnych punktów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ niebędących punktami stałymi powinowactwa osiowego ${\displaystyle f}$ proste ${\displaystyle Af(A)}$ i ${\displaystyle Bf(B)}$ są równoległe.
• Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy ${\displaystyle (A=A'),}$ to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
• Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa ${\displaystyle k.}$
• Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa ${\displaystyle k}$ i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
• Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa ${\displaystyle k}$ i wektor powinowactwa.
• Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa ${\displaystyle k,}$ kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa ${\displaystyle s}$ różny od 1.

Niezmienniki[edytuj | edytuj kod]

• stosunek długości równoległych odcinków
• stosunek podziału wektora
• stosunek pól figur

Fakty[edytuj | edytuj kod]

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.

Rodzaje powinowactwa osiowego:

• powinowactwo prostokątne – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa,
• powinowactwo ścinające (ścięcie) – kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa,
• symetria skośna – środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa,
• symetria osiowa – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi.

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

• grupa
• homeomorfizm
• izometria
• jednokładność

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

• Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1978.brak strony w książce