Operacja n-arna

Operacją ${\displaystyle n}$-arną (działaniem ${\displaystyle n}$-arnym)^[1] ${\displaystyle \omega }$ w zbiorze ${\displaystyle G}$ dla liczby całkowitej ${\displaystyle n>0}$ nazywamy funkcję, która każdemu ciągowi ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle n}$ elementów zbioru ${\displaystyle G}$ przyporządkowuje element ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ zbioru ${\displaystyle G.}$ Innymi słowy jest to dowolne odwzorowanie ${\displaystyle n}$-krotnego iloczynu kartezjańskiego ${\displaystyle G^{n}}$ zbioru ${\displaystyle G}$ w zbiór ${\displaystyle G.}$ W przypadku ${\displaystyle n=1}$ będzie to dowolne odwzorowanie zbioru ${\displaystyle G}$ w zbiór ${\displaystyle G}$ (taką operację nazywamy operacją unarną).

Operacja 0-arna ustala w zbiorze G pewien określony element.

Zamiast o operacjach ${\displaystyle n}$-arnych mówi się często o operacjach ${\displaystyle n}$-argumentowych lub działaniach ${\displaystyle n}$-argumentowych. Na przykład o działaniach dwuargumentowych, trzyargumentowych itd. Operacjami 0-arnymi są na przykład elementy neutralne działań.

Operacja ${\displaystyle n}$-arna jest podstawowym pojęciem algebry ogólnej, zajmującej się tzw. algebrami uniwersalnymi (krócej algebrami), zbiorami ${\displaystyle A}$ wyposażonymi w pewien zbiór ${\displaystyle \Omega }$ operacji ${\displaystyle n}$-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą uniwersalną.

Operacje n-arne w arytmetyce[edytuj | edytuj kod]

• Elementy neutralne dodawania (zero) i mnożenia (jedynka) w zbiorach liczb całkowitych, wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ rzeczywistych lub zespolonych są operacjami 0-arnymi.
• Funkcja przyporządkowująca każdej liczbie całkowitej jej kwadrat jest operacją 1-arną na zbiorze ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Podobnie pierwiastek kwadratowy jest operacją ${\displaystyle n}$-arną na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ (ale nie na zbiorze liczb rzeczywistych, ani wymiernych, ani całkowitych) oraz na zbiorze liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• Element odwrotny jest operacją 1-arną na każdym ze zbiorów: ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}=\mathbb {Q} \setminus \{0\},\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\},\mathbb {Z} ^{*}=\mathbb {Z} \setminus \{0\}.}$
• Działania dodawania, odejmowania i mnożenia są operacjami 2-arnymi na każdym ze zbiorów: ${\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Z} .}$ Dzielenie jest operacją 2-arną na każdym ze zbiorów: ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*},\mathbb {R} ^{*},\mathbb {Z} ^{*}.}$

Operacje n-arne w algebrze[edytuj | edytuj kod]

• Półgrupa jest zbiorem z operacją 2-arną łączną^[2].
• Monoid jest półgrupą z elementem neutralnym, który jest operacją 0-arną.
• Grupa jest zbiorem, w którym można wyróżnić operację 2-arną (działanie grupy), operację 1-arną (element odwrotny działania) i operację 0-arną (element neutralny). Są także inne sposoby określania grupy. Wystarczy określić na zbiorze jedną operację 2-arną – dzielenie (jeśli grupa jest multiplikatywna, czyli jej działanie jest mnożeniem)^[3].
• Grupę ${\displaystyle G}$ można rozpatrywać jako zbiór ${\displaystyle G}$ ze zbiorem operacji 1-arnych

${\displaystyle \{l_{g}\colon G\to G\colon \forall _{h\in G}\;l_{g}(h)=gh\},}$ gdzie ${\displaystyle g\in G.}$

• Pierścień jest zbiorem, w którym można wyróżnić dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), jedną operację 1-arną (element przeciwny) i operację 0-arną (zero). W pierścieniu z jednością można wyróżnić drugą operację 0-arną – jedynkę. O mnożeniu zakłada się co najmniej, że jest łączne i rozdzielne względem dodawania^[4].
• Ciało ${\displaystyle K}$ jest zbiorem, na którym określone są dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), operacja 1-arna (element przeciwny), dwie operacje 0-arne (0 i 1). Ponadto na zbiorze ${\displaystyle K^{*}}$ określona jest operacja 1-arna (element odwrotny).

Operacje n-arne w geometrii[edytuj | edytuj kod]

• Iloczyn mieszany trzech wektorów w przestrzeni 3-wymiarowej jest operacją 3-arną na zbiorze wszystkich wektorów tej przestrzeni^[5].

Mnożenie n-arne macierzy n-wskaźnikowych[edytuj | edytuj kod]

Macierz ${\displaystyle n}$-wskaźnikowa ${\displaystyle A}$ zawiera ${\displaystyle n}$ wskaźników przebiegających ${\displaystyle m}$ wartości. Taka macierz zawiera ${\displaystyle m^{n}}$ elementów macierzowych o wartościach zespolonych,

${\displaystyle a_{k_{1},\dots ,k_{n}}.}$

Mnożenie (iloczyn) macierzy ${\displaystyle n}$-wskaźnikowych zdefiniowane jest jako ${\displaystyle n}$-arne działanie wewnętrzne dla dokładnie ${\displaystyle n}$ macierzy, z których każda ma ${\displaystyle n}$ wskaźników przebiegających ${\displaystyle m}$ wartości. Każda macierz zawiera ${\displaystyle m^{n}}$ wartości. Wynikiem jest również macierz ${\displaystyle n}$-wskaźnikowa.

Jeżeli ${\displaystyle B=A^{(1)}A^{(2)},\dots ,A^{(n-1)}A^{(n)},}$ a ${\displaystyle b_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}$ oznacza element ${\displaystyle B}$ na pozycji ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}),}$ to

${\displaystyle b_{k_{1},\dots ,k_{n}}=\sum _{l_{1},\dots ,l_{n-1}=1}^{m}a_{k_{1},l_{1}\dots ,l_{n-1}}^{(1)}*a_{l_{n-1},k_{2},l_{1}\dots ,l_{n-2}}^{(2)}*\ldots *a_{l_{2},\dots ,k_{n-1},l_{1}}^{(n-1)}*a_{l_{1},l_{2},\dots ,k_{n}}^{(n)}}$

dla każdego wskaźnika ${\displaystyle k_{i},l_{j},}$ dla których ${\displaystyle 1\leqslant k_{i}\leqslant m}$ oraz ${\displaystyle 1\leqslant l_{j}\leqslant m.}$

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

• Aleksiej Pogorełow: Geometria. Moskwa: Nauka, 1983. (ros.).brak strony w książce
• А.Г. Курош (Kurosz): Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11. (ros.).