Metryka Schwarzschilda

Rozwiązanie Schwarzschilda – rozwiązanie równań Einsteina ogólnej teorii względności, opisujące pole grawitacyjne (ściślej: metrykę czasoprzestrzeni) na zewnątrz i wewnątrz sferycznie symetrycznego, nie rotującego ciała, jak gwiazda, planeta czy czarna dziura. Daje ono również dobre przybliżenie dla pola grawitacyjnego w pobliżu wolno obracających się ciał, takich jak Ziemia czy Słońce.

Zgodnie z twierdzeniem Birkhoffa, rozwiązanie Schwarzschilda jest najbardziej ogólnym sferycznie symetrycznym rozwiązaniem próżniowym równań pola Einsteina. Zostało ono znalezione przez Karla Schwarzschilda w 1915 roku, zaledwie miesiąc po ogłoszeniu ogólnej teorii względności przez Einsteina. Było to pierwsze ścisłe rozwiązanie równań pola Einsteina, nie licząc trywialnego rozwiązania dla czasoprzestrzeni bez materii i energii.

Czarna dziura Schwarzschilda jest scharakteryzowana wyłącznie przez swoją masę – nie posiada ładunku elektrycznego ani momentu pędu. Taka czarna dziura zwana jest statyczną czarną dziurą. Jest ona otoczona przez sferyczną powierzchnię, zwaną horyzontem zdarzeń, o promieniu wprost proporcjonalnym do masy czarnej dziury (zwanym promieniem Schwarzschilda). Dowolne zapadające się ciało obdarzone masą, nieposiadające momentu pędu i ładunku, po osiągnięciu promienia grawitacyjnego staje się czarną dziurą Schwarzschilda. W ogólnej teorii względności nie ma ograniczeń na masę czarnej dziury tego typu, przy czym spodziewane jest istnienie dolnej granicy ze względu na efekty kwantowe.

Opis matematyczny[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązanie Schwarzschilda przedstawia metrykę czasoprzestrzeni wokół symetrycznego obiektu, która dla przestrzennych współrzędnych sferycznych ma postać:

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle \tau }$ – czas własny,

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni,

${\displaystyle t}$ – czas (współrzędna czasowa) mierzony przez stacjonarnego obserwatora znajdującego się w nieskończoności,

${\displaystyle r}$ – współrzędna radialna,

${\displaystyle \theta }$ – współrzędna azymutalna,

${\displaystyle \varphi }$ – współrzędna zenitalna,

${\displaystyle r_{s}}$ – promień Schwarzschilda obiektu, zależny od jego masy ${\displaystyle M,}$

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

${\displaystyle G}$ – newtonowska stała grawitacji.

Rozwiązanie Schwarzschilda jest relatywistycznym odpowiednikiem pola grawitacyjnego wokół masywnej cząstki punktowej w klasycznej newtonowskiej teorii grawitacji^[1].

W praktyce stosunek ${\displaystyle r_{s}}$ jest właściwie zawsze bardzo mały, stosunek ten jest znaczący jedynie dla supergęstych obiektów zwartych, takich jak czarne dziury czy gwiazdy neutronowe.

Metryka Schwarzschilda jest rozwiązaniem równań pola Einsteina w pustej przestrzeni, co oznacza, że dotyczy ono wyłącznie obszaru „na zewnątrz” ciała obdarzonego masą. Innymi słowy, dla obiektu o promieniu ${\displaystyle R,}$ rozwiązanie Schwarzschilda dotyczy tylko obszaru o ${\displaystyle r>R.}$ W celu opisania pola grawitacyjnego również wewnątrz danego ciała, rozwiązanie to należy połączyć (zszyć) w ${\displaystyle r=R}$ z odpowiednim rozwiązaniem dla części wewnętrznej.

Rozwiązanie wewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Metryka Schwarzschilda wewnątrz sferyczno-symetrycznej nierotującej masy o stałej gęstości ${\displaystyle \rho _{0}}$ i promieniu ${\displaystyle r_{0}}$ przedstawia się następująco:

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {1-K{r_{0}}^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-Kr^{2}}}\right)^{2}c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-K{r}^{2}}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),}$

gdzie stała ${\displaystyle K}$ jest dana przez:

${\displaystyle K={\frac {8\pi G\rho _{0}}{3c^{2}}}.}$

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

• linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda
• wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda
• inne metryki:
  • metryka Kerra – dla rotujących czarnych dziur pozbawionych ładunku elektrycznego
  • metryka Kerra-Newmana – dla rotujących czarnych dziur obdarzonych ładunkiem elektrycznym
  • metryka Reissnera–Nordströma – dla nierotujących czarnych dziur obdarzonych ładunkiem elektrycznym
• inne:
  • rozmaitość riemannowska
  • rozmaitość pseudoriemannowska

Przypisy[edytuj | edytuj kod]