Konwencje w teoriach relatywistycznych
Konwencje w teoriach relatywistycznych – konwencje związane z indeksami występującymi we wzorach, stosowane w teoriach relatywistycznych (szczególnej teorii względności, ogólnej teorii względności, elektrodynamice, relatywistycznej mechanice kwantowej).
Konwencja sumacyjna Einsteina[edytuj | edytuj kod]
Konwencja sumacyjna Einsteina to skrócony zapis, w którym pomija się znak sumowania jeżeli w wyrażeniu po znaku sumy występują jednocześnie symbole z indeksami górnymi i symbole z indeksami dolnymi lub jeden symbol o tych dwóch indeksach, np. – indeksem sumacyjnym (niemym) jest
Tensor metryczny[edytuj | edytuj kod]
(1) Tensor metryczny danego układu współrzędnych krzywoliniowych:
- – składowe kontrawariantne tensora metrycznego
- – składowe kowariantne tensora metrycznego
(2) Wyznacznik kowariantnego tensora metrycznego tradycyjnie oznacza się literą tj.
(3) Tensor metryczny kontrawariantny jest zadany macierzą odwrotną do macierzy tensora kowariantnego, tj.
Indeksy greckie[edytuj | edytuj kod]
Indeksy oznaczane literami alfabetu greckiego ( itp.) przebiegają wszystkie możliwe wartości, zależnie od wymiaru przestrzeni, w której rozważa się tensory.
a) W czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową, indeksy przebiegają 4 wartości; tradycyjnie używa się liczb z zakresu (lub ), np.
- – składowe kowariantne czterowektora położenia, przy czym:
- – składowa czasowa
- – składowe przestrzenne
- – składowe kowariantne czterowektora pędu, przy czym:
- – składowa czasowa,
- – składowe przestrzenne
- – składowe kowariantne czterowektora położenia, przy czym:
b) Ogólnie, dla przestrzeni -wymiarowych indeksy przyjmują wartości, np. ze zbioru lub
Indeksy łacińskie[edytuj | edytuj kod]
Indeksy oznaczane literami alfabetu łacińskiego, np. przebiegają zbiór wartości
Tensory indeksowane w ten sposób są tensorami zdefiniowanymi nad przestrzenią 3-wymiarową.
Np.
- – składowe przestrzenne 3-wektora położenia,
- – składowe przestrzenne 3-wektora pędu,
- – składowe przestrzenne tensora napięć-energii,
Podnoszenie/opuszczanie wskaźników[edytuj | edytuj kod]
- Osobny artykuł:
(1) Aby opuścić wskaźnik wektora (ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z górnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kowariantny
(2) Aby podnieść wskaźnik wektora (lub ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z dolnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kontrawariantny
Pochodna cząstkowa i kowariantna[edytuj | edytuj kod]
W układach krzywoliniowych nieortogonalnych sama pochodna cząstkowa nie ma charakteru tensorowego – dlatego definiuje się tzw. pochodną kowariantną, która ma charakter tensorowy (jest ona równa pochodnej cząstkowej uzupełnionej o dodatkowe składniki, związane z krzywoliniowością układu współrzędnych).
Oznaczenia:
- w teorii względności:
- pochodna cząstkowa 1-go rzędu – przecinek:
- pochodna cząstkowa 2-go rzędu – przecinek:
- pochodna kowariantna – średnik:
- w mechanice kwantowej:
- pochodna cząstkowa – stylizowana delta:
- pochodna kowariantna – duża litera
- w mechanice klasycznej:
- pochodna cząstkowa – przecinek:
- pochodna kowariantna – nabla:
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958.
- John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.