Jeż (topologia)

Zobacz też: inne znaczenia wyrazu „jeż”.

Jeż – przykład przestrzeni metrycznej zlepionej z kolców złączonych w jednym punkcie, co sprawia, iż przypomina ona swoim wyglądem jeża.

Dla dowolnej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa }$ jeżem o ${\displaystyle \kappa }$ kolcach nazywa się przestrzeń zdefiniowaną jako zbiór ${\displaystyle \kappa }$ kopii przedziałów jednostkowych utożsamionych w punkcie 0; każdy taki przedział nazywa się kolcem jeża.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Niech ${\displaystyle S}$ będzie zbiorem nieskończonej mocy ${\displaystyle \kappa ,}$ przy czym dla każdej liczby ${\displaystyle \alpha \in S}$ dalej wykorzystywane będą oznaczenia:

${\displaystyle I_{\alpha }:=[0,1]\times \{\alpha \}}$

oraz

${\displaystyle x_{\alpha }:=(x,\alpha )\in I_{\alpha }.}$

Dowodzi się, że relacja ${\displaystyle R}$ określona na ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{\alpha \in S}I_{\alpha }}$ warunkiem:

${\displaystyle x_{\alpha }Ry_{\beta }}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x=y}$   i   ${\displaystyle \alpha =\beta }$   lub   ${\displaystyle x=y=0,}$

jest relacją równoważności. Wzór

${\displaystyle d{\big (}[x_{\alpha }],[y_{\beta }]{\big )}={\begin{cases}|x-y|,&{\mbox{ dla }}\alpha =\beta ,\\[2pt]x+y,&{\mbox{ dla }}\alpha \neq \beta .\end{cases}}}$

określa metrykę w zbiorze klas abstrakcji ${\displaystyle R.}$

Słownie metrykę tę można opisać następująco: zwykła odległość euklidesowa dla punktów, które leżą na tym samym kolcu, i odległość równa sumie odległości euklidesowych od zera obu punktów, gdy leżą one na innych kolcach. Tak zdefiniowaną metrykę nazywa się metryką kolejową, centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego bądź paryską^[1].

Przestrzeń ilorazową relacji ${\displaystyle R,}$ wyposażoną w metrykę ${\displaystyle d,}$ nazywa się jeżem z ${\displaystyle \kappa }$ kolcami i oznacza ${\displaystyle J(\kappa ).}$

Własności[edytuj | edytuj kod]

• Dla każdej liczby ${\displaystyle \alpha \in S}$ przekształcenie ${\displaystyle j_{\alpha }}$ odcinka [0,1] w jeża ${\displaystyle J(\kappa )}$ dane wzorem ${\displaystyle j_{\alpha }(x)=[x_{\alpha }]}$ jest zanurzeniem homeomorficznym.
• Bazą przestrzeni ${\displaystyle J(\kappa )}$ jest rodzina kul otwartych o promieniach wymiernych i środkach w punktach postaci ${\displaystyle [x_{\alpha }],}$ gdzie ${\displaystyle x}$ jest liczbą wymierną oraz ${\displaystyle \alpha \in S.}$ Wynika stąd, że waga przestrzeni ${\displaystyle J(\kappa )}$ jest nie większa od ${\displaystyle \kappa .}$ Z drugiej strony podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle J(\kappa )}$ złożona z punktów postaci ${\displaystyle [1_{\alpha }]}$ jest przestrzenią dyskretną mocy ${\displaystyle \kappa ,}$ stąd waga przestrzeni ${\displaystyle J(\kappa )}$ jest równa ${\displaystyle \kappa .}$
• Twierdzenie Kowalsky’ego: Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu kopii jeża ${\displaystyle J(\kappa )}$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni metryzowalnych o ciężarze ${\displaystyle \kappa .}$ Innymi słowy, każda przestrzeń metryczna wagi ${\displaystyle \kappa }$ jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią produktu przeliczalnie wielu kopii jeża z ${\displaystyle \kappa }$ kolcami^[2].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

• bukiet
• grzebień
• miotełka Knastera-Kuratowskiego
• prosta Aleksandrowa

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 308, 346.