Wykres funkcji ζ {\displaystyle \zeta } w dziedzinie liczb rzeczywistych Wykres funkcji ζ {\displaystyle \zeta } w dziedzinie liczb zespolonych uzyskany techniką kolorowania dziedziny . Funkcja zeta Riemanna (funkcja dzeta Riemanna, funkcja ζ {\displaystyle \zeta } ) – zespolona funkcja specjalna zdefiniowana w postaci szeregu
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} dla dowolnej liczby zespolonej s {\displaystyle s} o części rzeczywistej ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} oraz jako przedłużenie analityczne powyższego szeregu dla pozostałych liczb zespolonych[1] .
Funkcję ζ {\displaystyle \zeta } po raz pierwszy zdefiniował Leonhard Euler w XVIII w., jednak rozważał jej wartości jedynie dla zmiennych rzeczywistych. Dopiero Bernhard Riemann w artykule z listopada 1859 r. O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości (niem. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) rozszerzył definicję Eulera na wszystkie liczby zespolone, udowodnił meromorficzność funkcji, przedstawił i udowodnił równanie funkcyjne opisujące funkcję na całej płaszczyźnie zespolonej i wykazał zależność między rozmieszczeniem jej miejsc zerowych a liczbą liczb pierwszych . Artykuł ten zawierał również sformułowanie hipotezy Riemanna , określanej jako najważniejszy problem otwarty matematyki[2] .
Pierwsza strona artykułu Riemanna O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości z 1859 r. Funkcja zeta znajduje bardzo wiele zastosowań w analitycznej teorii liczb .
Dla zmiennej o części rzeczywistej większej niż 1 [ edytuj | edytuj kod ] Funkcja ζ {\displaystyle \zeta } jest pierwotnie definiowana za pomocą szeregu. W swojej pracy Riemann udowodnił także postać
ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}dx} dla ℜ ( s ) > 1 , {\displaystyle \Re (s)>1,} wykorzystując przy tym odwrotność funkcji gamma .
W perspektywie teorii liczb , zdecydowanie największą rolę odgrywa iloczyn Eulera funkcji zeta, będący postaci
ζ ( s ) = ∏ p ( 1 − 1 p ) − 1 , {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1},} gdzie ∏ p {\textstyle \prod _{p}} oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych[3] [4] .
Często wykorzystywaną reprezentacją funkcji ζ {\displaystyle \zeta } na pasie 0 < ℜ ( s ) < 1 {\displaystyle 0<\Re (s)<1} jest
ζ ( s ) = s s − 1 − s ∫ 1 ∞ { u } u s + 1 d u , {\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{s+1}}}du,} gdzie { x } {\displaystyle \{x\}} oznacza część ułamkową . Postać tę można odczytać ze wzoru sumacyjnego Eulera [5] [6] .
Na całej płaszczyźnie zespolonej [ edytuj | edytuj kod ] ζ ( s ) = 1 1 − 2 1 − s ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + 1 ) − s . {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}.} Równaniem udowodnionym przez Riemanna, które opisuje zachowanie funkcji ζ {\displaystyle \zeta }
ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)} dla dowolnej liczby zespolonej s , {\displaystyle s,} gdzie Γ {\displaystyle \Gamma } to funkcja gamma . Równanie to wiąże wartości funkcji dla zmiennych zespolonych s {\displaystyle s} i 1 − s , {\displaystyle 1-s,} symetrycznych wobec siebie względem prostej krytycznej ℜ ( s ) = 1 2 . {\textstyle \Re (s)={\frac {1}{2}}.} Z równania tego można również odczytać, że trywialnymi miejscami zerowymi funkcji ζ {\displaystyle \zeta } są − 2 k = − 2 , − 4 , − 6 , … {\displaystyle -2k=-2,-4,-6,\dots } (ponieważ wtedy wartości 2 s π s − 1 , {\displaystyle 2^{s}\pi ^{s-1},} funkcji Γ ( 1 − s ) {\displaystyle \Gamma (1-s)} i ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta (1-s)} są skończone, a sin ( − 2 k π 2 ) = sin ( − k π ) = 0 {\textstyle \sin \left({\frac {-2k\pi }{2}}\right)=\sin(-k\pi )=0} ). Jednocześnie, jeśli s = 2 k {\displaystyle s=2k} (jest dodatnią liczbą parzystą), to ζ ( s ) ≠ 0 , {\displaystyle \zeta (s)\neq 0,} ponieważ w tych miejscach występują bieguny funkcji Γ ( 1 − s ) . {\displaystyle \Gamma (1-s).} Ponadto, jeśli s 0 {\displaystyle s_{0}} jest nietrywialnym miejscem zerowym ζ {\displaystyle \zeta } ( 0 < ℜ ( s 0 ) < 1 ) , {\displaystyle (0<\Re (s_{0})<1),} to jest nim również 1 − s 0 . {\displaystyle 1-s_{0}.} Jeśli s 0 {\displaystyle s_{0}} nie leży na prostej krytycznej, to są to dwie różne wartości, dlatego nietrywialne miejsca zerowa poza prostą krytyczną muszą występować w parach.
Przedstawimy poniżej trzy dowody prawdziwości równania funkcyjnego wg Titchmarsha (spośród aż siedmiu przedstawionych)[7] .
Dowód 1 . W pierwszym dowodzie wyprowadzamy, a następnie korzystamy z postaci funkcji ζ {\displaystyle \zeta } wykorzystującej całkę z funkcji { u } u − s − 1 . {\displaystyle \{u\}u^{-s-1}.}
Wzór sumacyjny Eulera mówi, że dla dowolnej funkcji f {\displaystyle f} o ciągłej pochodnej zachodzi
∑ y < n ⩽ x f ( n ) = ∫ y x f ( u ) d u + ∫ y x { u } f ′ ( u ) d u − { x } f ( x ) + { y } f ( y ) . {\displaystyle \sum _{y<n\leqslant x}f(n)=\int _{y}^{x}f(u)du+\int _{y}^{x}\{u\}f'(u)du-\{x\}f(x)+\{y\}f(y).} Biorąc f ( n ) = n − s , {\displaystyle f(n)=n^{-s},} otrzymamy
∑ 1 ⩽ n ⩽ x 1 n s = ∫ 1 x d u u s − s ∫ 1 x { u } u s + 1 d u − { x } x s + 1. {\displaystyle \sum _{1\leqslant n\leqslant x}{\frac {1}{n^{s}}}=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u^{s}}}-s\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{s+1}}}du-{\frac {\{x\}}{x^{s}}}+1.} Aby z lewej strony równania otrzymać funkcję Riemanna, chcemy aby x → ∞ . {\displaystyle x\to \infty .} Widzimy, że
∫ 1 x d u u s = 1 − x 1 − s s − 1 = 1 s − 1 − 1 x s − 1 ( s − 1 ) = 1 s − 1 . {\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {du}{u^{s}}}={\frac {1-x^{1-s}}{s-1}}={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{x^{s-1}(s-1)}}={\frac {1}{s-1}}.} Stąd
ζ ( s ) = 1 − 1 s − 1 − s ∫ 1 ∞ { u } u s + 1 d u = s s − 1 − s ∫ 1 ∞ { u } u s + 1 d u {\displaystyle \zeta (s)=1-{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{s+1}}}du={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{s+1}}}du} dla ℜ ( s ) > 1. {\displaystyle \Re (s)>1.}
Teraz skorzystajmy z szeregu Fouriera zbieżnego do części ułamkowej. Mamy
{ x } = − 1 2 + ∑ n = 1 ∞ sin ( 2 n π x ) n π {\displaystyle \{x\}=-{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(2n\pi x)}{n\pi }}} dla x {\displaystyle x} niecałkowitych. Podstawiając pod całkę, otrzymamy
ζ ( s ) = s π ∑ n = 1 ∞ 1 n ∫ 0 ∞ sin ( 2 n π u ) u s + 1 d u = s π ∑ n = 1 ∞ ( 2 n π ) s n ∫ 0 ∞ sin u u s + 1 d u = s π ( 2 π ) s ( − Γ ( − s ) ) sin ( π s 2 ) ζ ( 1 − s ) . {\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(2n\pi u)}{u^{s+1}}}du={\frac {s}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n\pi )^{s}}{n}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin u}{u^{s+1}}}du={\frac {s}{\pi }}(2\pi )^{s}(-\Gamma (-s))\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (1-s).} Upraszczając i korzystając z Γ ( − s ) = − s Γ ( 1 − s ) , {\displaystyle \Gamma (-s)=-s\Gamma (1-s),} otrzymamy równanie.
Dowód 2 . Dowód ten przeprowadzany jest ze szczególnym uwzględnieniem narzędzi analizy zespolonej.
Zacznijmy od udowodnienia szczególnej postaci funkcji ζ {\displaystyle \zeta } (przedstawionej wcześniej w artykule). Całkując przez podstawienie, pokazujemy, że
∫ 0 ∞ x s − 1 e − n x d x = 1 n s ∫ 0 ∞ u s − 1 e − u d u = Γ ( s ) n s , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-nx}dx={\frac {1}{n^{s}}}\int _{0}^{\infty }u^{s-1}e^{-u}du={\frac {\Gamma (s)}{n^{s}}},} więc dla ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} mamy
Γ ( s ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ Γ ( s ) n s = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ x s − 1 e − n x d x = ∫ 0 ∞ x s − 1 ∑ n = 1 ∞ e − n x d x = ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x {\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (s)}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-nx}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}dx} gdzie przy trzeciej równości skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu wyraz po wyrazie , ponieważ występujący szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny , a ostatnia równość zachodzi, ponieważ występujący tam szereg jest zwykłym szeregiem geometrycznym .
Rozważmy całkę
I ( s ) = ∫ C z s − 1 e z − 1 d z , {\displaystyle I(s)=\int _{C}{\frac {z^{s-1}}{e^{z}-1}}dz,} kontur Hankela gdzie C {\displaystyle C} oznacza kontur Hankela (krzywą składającą się z prostej ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} od + ∞ {\displaystyle +\infty } do ρ {\displaystyle \rho } ( 0 < ρ < 2 π ) , {\displaystyle (0<\rho <2\pi ),} fragmentu dodatnio określonego (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) okręgu | z | = ρ {\displaystyle |z|=\rho } okrążając 0 i prostej − ϵ {\displaystyle -\epsilon } od ρ {\displaystyle \rho } do + ∞ {\displaystyle +\infty } ). Przyjęliśmy tutaj
z s − 1 = e ( s − 1 ) log s , {\displaystyle z^{s-1}=e^{(s-1)\log s},} gdzie logarytm jest rzeczywisty na początku konturu. Na zadanym okręgu mamy
| z s − 1 | = e ( ℜ ( s ) − 1 ) log | z | − ℑ ( s ) arg ( z ) ⩽ | z | ℜ ( s ) − 1 e 2 π | ℑ ( s ) | {\displaystyle |z^{s-1}|=e^{(\Re (s)-1)\log |z|-\Im (s)\arg(z)}\leqslant |z|^{\Re (s)-1}e^{2\pi |\Im (s)|}} i
| e z − 1 | > A | z | {\displaystyle |e^{z}-1|>A|z|} dla pewnej stałej A > 0 , {\displaystyle A>0,} więc
1 A | z 2 − s | > | z s − 1 e z − 1 | . {\displaystyle {\frac {1}{A|z^{2-s}|}}>\left|{\frac {z^{s-1}}{e^{z}-1}}\right|.} Stąd, jeśli ℜ ( s ) > 1 , {\displaystyle \Re (s)>1,} to przy ρ → 0 {\displaystyle \rho \to 0} wartość powyższej całki na części okręgu | z | = ρ {\displaystyle |z|=\rho } dąży do 0. Dlatego, zakładając dalej ρ → 0 , {\displaystyle \rho \to 0,} mamy
I ( s ) = − ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x + ∫ 0 ∞ ( x e 2 π i ) s − 1 e x − 1 d x = ( e 2 π i s − 1 ) Γ ( s ) ζ ( s ) = 2 π i e π i s Γ ( 1 − s ) ζ ( s ) . {\displaystyle I(s)=-\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}dx+\int _{0}^{\infty }{\frac {(xe^{2\pi i})^{s-1}}{e^{x}-1}}dx=(e^{2\pi is}-1)\Gamma (s)\zeta (s)={\frac {2\pi ie^{\pi is}}{\Gamma (1-s)}}\zeta (s).} Dlatego
ζ ( s ) = e − π i s Γ ( 1 − s ) 2 π i I ( s ) {\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{-\pi is}\Gamma (1-s)}{2\pi i}}I(s)} dla ℜ ( s ) > 1. {\displaystyle \Re (s)>1.} Jednakże całka I ( s ) {\displaystyle I(s)} zbiega jednostajnie na każdym skończonym obszarze płaszczyzny zespolonej . W ten sposób przedłużymy analitycznie funkcję Riemanna.
Niech C n {\displaystyle C_{n}} będzie konturem równym ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} od + ∞ {\displaystyle +\infty } do ( 2 n + 1 ) π , {\displaystyle (2n+1)\pi ,} następnie dodatnio określonym fragmentem kwadratu ( ± 1 ± i ) ( 2 n + 1 ) π , {\displaystyle (\pm 1\pm i)(2n+1)\pi ,} a potem − ϵ {\displaystyle -\epsilon } od ( 2 n + 1 ) π {\displaystyle (2n+1)\pi } do + ∞ . {\displaystyle +\infty .} Całkowana funkcja ma pomiędzy konturami C {\displaystyle C} a C n {\displaystyle C_{n}} bieguny w punktach ± 2 π i , … , n 2 π i . {\displaystyle \pm 2\pi i,\dots ,n2\pi i.} Residua w punktach − m 2 π i {\displaystyle -m2\pi i} i m 2 π i {\displaystyle m2\pi i} to w sumie
( 2 m π e 1 2 π i ) s − 1 + ( 2 m π e 3 2 π i ) s − 1 = ( 2 m π ) s − 1 e π i ( s − 1 ) 2 cos ( π ( s − 1 ) 2 ) = − 2 ( 2 m π ) s − 1 e π i s sin ( π s 2 ) . {\displaystyle (2m\pi e^{{\frac {1}{2}}\pi i})^{s-1}+(2m\pi e^{{\frac {3}{2}}\pi i})^{s-1}=(2m\pi )^{s-1}e^{\pi i(s-1)}2\cos \left({\frac {\pi (s-1)}{2}}\right)=-2(2m\pi )^{s-1}e^{\pi is}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right).} Dlatego z twierdzenia o residuach , mamy
I ( s ) = ∫ C n z s − 1 e z − 1 d z + 4 π i e π i s sin ( π s 2 ) ∑ m = 1 n ( 2 m π ) s − 1 . {\displaystyle I(s)=\int _{C_{n}}{\frac {z^{s-1}}{e^{z}-1}}dz+4\pi ie^{\pi is}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{m=1}^{n}(2m\pi )^{s-1}.} Biorąc n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } i wiedząc, że funkcja ( e z − 1 ) − 1 {\displaystyle (e^{z}-1)^{-1}} jest ograniczona oraz | z s − 1 | = O ( z ℜ ( z ) − 1 ) {\displaystyle |z^{s-1}|=O(z^{\Re (z)-1})} wnioskujemy, że całka po konturze C n {\displaystyle C_{n}} dąży do 0. Dlatego
I ( s ) = 4 π i e π i s sin ( π s 2 ) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m π ) s − 1 = 4 π i e π i s sin ( π s 2 ) ( 2 π ) s − 1 ζ ( 1 − s ) . {\displaystyle I(s)=4\pi ie^{\pi is}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{m=1}^{\infty }(2m\pi )^{s-1}=4\pi ie^{\pi is}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)(2\pi )^{s-1}\zeta (1-s).} Upraszczając, otrzymamy równanie funkcyjne.
Dowód 3 .
Jeśli ℜ ( s ) > 0 , {\displaystyle \Re (s)>0,} to, całkując przez podstawienie,
∫ 0 ∞ x 1 2 s − 1 e − n 2 π x d x = Γ ( s 2 ) n s π s 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{{\frac {1}{2}}s-1}e^{-n^{2}\pi x}dx={\frac {\Gamma ({\frac {s}{2}})}{n^{s}\pi ^{\frac {s}{2}}}}.} Stąd, dla ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} zachodzi
ζ ( s ) Γ ( s 2 ) π s 2 = ∑ n = 1 ∞ Γ ( s 2 ) n s π s 2 = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ x 1 2 s − 1 e − n 2 π x d x = ∫ 0 ∞ x 1 2 s − 1 ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x d x , {\displaystyle \zeta (s){\frac {\Gamma ({\frac {s}{2}})}{\pi ^{\frac {s}{2}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Gamma ({\frac {s}{2}})}{n^{s}\pi ^{\frac {s}{2}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{{\frac {1}{2}}s-1}e^{-n^{2}\pi x}dx=\int _{0}^{\infty }x^{{\frac {1}{2}}s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}dx,} gdzie, podobnie jak w poprzednim dowodzie, w ostatniej równości skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu wyraz po wyrazie , ponieważ występujący szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny (stąd silniejsze założenie o części rzeczywistej s {\displaystyle s} ). Oznaczmy
ψ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}.} Wówczas
ζ ( s ) = π s 2 Γ ( s 2 ) ∫ 0 ∞ x 1 2 s − 1 ψ ( x ) d x . {\displaystyle \zeta (s)={\frac {\pi ^{\frac {s}{2}}}{\Gamma ({\frac {s}{2}})}}\int _{0}^{\infty }x^{{\frac {1}{2}}s-1}\psi (x)dx.} Korzystając ze wzoru sumacyjnego Poissona , otrzymamy
∑ n = − ∞ ∞ e − n 2 π x = 1 x ∑ n = − ∞ ∞ e − n 2 π x , {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}={\frac {1}{\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {-n^{2}\pi }{x}},} a stąd
2 ψ ( x ) + 1 = 1 x ( 2 ψ ( 1 x ) + 1 ) . {\displaystyle 2\psi (x)+1={\frac {1}{\sqrt {x}}}\left(2\psi \left({\frac {1}{x}}\right)+1\right).} Dlatego
π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = ∫ 0 1 x s 2 − 1 ψ ( x ) d x + ∫ 1 ∞ x s 2 − 1 ψ ( x ) d x . {\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{{\frac {s}{2}}-1}\psi (x)dx+\int _{1}^{\infty }x^{{\frac {s}{2}}-1}\psi (x)dx.} Powyższe wyrażenie jest równe
∫ 0 1 x s 2 − 1 ( 1 x ψ ( 1 x ) + 1 2 x − 1 2 ) d x + ∫ 1 ∞ x s 2 − 1 ψ ( x ) d x , {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{{\frac {s}{2}}-1}\left({\frac {1}{\sqrt {x}}}\psi \left({\frac {1}{x}}\right)+{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {1}{2}}\right)dx+\int _{1}^{\infty }x^{{\frac {s}{2}}-1}\psi (x)dx,} co z kolei równa się
1 s − 1 − 1 s + ∫ 0 1 x s 2 − 3 2 ψ ( 1 x ) d x + ∫ 1 ∞ x s 2 − 1 ψ ( x ) d x . {\displaystyle {\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+\int _{0}^{1}x^{{\frac {s}{2}}-{\frac {3}{2}}}\psi \left({\frac {1}{x}}\right)dx+\int _{1}^{\infty }x^{{\frac {s}{2}}-1}\psi (x)dx.} Zatem
π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = 1 s ( s − 1 ) + ∫ 1 ∞ ( x − s 2 − 1 2 + x s 2 + 1 ) ψ ( x ) d x , {\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s(s-1)}}+\int _{1}^{\infty }\left(x^{-{\frac {s}{2}}-{\frac {1}{2}}}+x^{{\frac {s}{2}}+1}\right)\psi (x)dx,} gdzie całka jest zbieżna dla wszystkich s {\displaystyle s} zespolonych, więc wyrażenie po lewej można przedłużyć analitycznie. Ponadto, prawa strona nie zmienia wartości po zastąpieniu s {\displaystyle s} przez 1 − s . {\displaystyle 1-s.} Dlatego
π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = π − 1 − s 2 Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) . {\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s).} Po uproszczeniu otrzymamy równanie funkcyjne.
Wzory związane z funkcją zeta [ edytuj | edytuj kod ] Osobny artykuł: Iloczyn Eulera . Na półpłaszczyźnie ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} funkcja Riemanna jest wyrażona przez iloczyn Eulera ζ ( s ) = ∏ p ( 1 − 1 p ) − 1 , {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1},}
gdzie ∏ p {\textstyle \prod _{p}} oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych[3] [4] .
Ponadto, dla ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} prawdziwe są tożsamości
1 ζ ( s ) = ∏ p ( 1 − 1 p s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}} oraz
ζ ( s ) ζ ( 2 s ) = ∏ p ( 1 + 1 p s ) = ∑ n = 1 ∞ | μ ( n ) | n s {\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}} gdzie μ {\displaystyle \mu } to funkcja Möbiusa ,
ζ ( 2 s ) ζ ( s ) = ∏ p ( 1 + 1 p s ) − 1 = ∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n s , {\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}},} gdzie λ {\displaystyle \lambda } to funkcja Liouville’a ,
Wszystkie powyższe iloczyny można otrzymać przez zwykłe przekształcenia algebraiczne na produkcie Eulera funkcji ζ , {\displaystyle \zeta ,} a szeregi po prawej – przez wymnażanie czynników[8] .
Prawdziwe są również wzory
ζ ( s ) 2 = ∑ n = 1 ∞ τ ( n ) n s , {\displaystyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}},} gdzie τ {\displaystyle \tau } oznacza liczbę dodatnich dzielników , a także ogólniej
ζ ( s ) k = ∑ n = 1 ∞ τ k ( n ) n s , {\displaystyle \zeta (s)^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\tau }_{k}(n)}{n^{s}}},} dla k = 2 , 3 , … , {\displaystyle k=2,3,\dots ,} gdzie τ k ( n ) {\displaystyle \tau _{k}(n)} oznacza liczbę sposobów na przedstawienie liczby całkowitej dodatniej n {\displaystyle n} jako iloczyn k {\displaystyle k} czynników całkowitych dodatnich.
ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) = ∑ n = 1 ∞ 2 ω ( n ) n s , {\displaystyle {\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}},} gdzie ω {\displaystyle \omega } to funkcja pierwsza omega , czyli liczba dzielników pierwszych. Ponadto
ζ ( s ) 3 ζ ( 2 s ) = ∑ n = 1 ∞ τ ( n ) 2 n s , {\displaystyle {\frac {\zeta (s)^{3}}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)^{2}}{n^{s}}},} ζ ( s ) 4 ζ ( 2 s ) = ∑ n = 1 ∞ { τ ( n ) } 2 n s , {\displaystyle {\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\{\tau (n)\}^{2}}{n^{s}}},} przy czym wszystkie powyższe wzory są prawdziwe na obszarze zbieżności szeregów, czyli ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} [9] . Dodatkowo
ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ φ ( n ) n s , {\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}},} gdzie φ {\displaystyle \varphi } oznacza tocjent Eulera i
1 − 2 1 − s 1 − 2 − s ζ ( s − 1 ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s , {\displaystyle {\frac {1-2^{1-s}}{1-2^{-s}}}\zeta (s-1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}},} gdzie a ( n ) {\displaystyle a(n)} jest największym dzielnikiem nieparzystym liczby n . {\displaystyle n.} Te dwa wzory są prawdziwe dla ℜ ( s ) > 2 {\displaystyle \Re (s)>2} [10] .
Biorąc logarytm zespolony iloczynu Eulera, mamy
log ζ ( s ) = log ∏ p ( 1 − 1 p s ) − 1 = − ∑ p log ( 1 − 1 p s ) = − ∑ p ∑ k = 1 ∞ 1 k p k s , {\displaystyle \log \zeta (s)=\log \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=-\sum _{p}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{kp^{ks}}},} przy czym ostatnia równość zachodzi, ponieważ ∑ k = 1 ∞ ( k x k ) − 1 {\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }(kx^{k})^{-1}} jest szeregiem potęgowym funkcji log ( 1 − x − 1 ) . {\displaystyle \log(1-x^{-1}).} Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy
ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = ∑ p ∑ k = 1 ∞ log p p k s = ∑ n = 1 ∞ Λ ( n ) n s , {\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{p}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\log p}{p^{ks}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}},} gdzie Λ {\displaystyle \Lambda } oznacza funkcję von Mangoldta [11] .
Związek z liczbami Bernoulliego :
ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! , {\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}},} dla każdej liczby parzystej dodatniej 2 n , {\displaystyle 2n,} gdzie B k {\displaystyle B_{k}} to k {\displaystyle k} -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych − n : {\displaystyle -n{:}}
ζ ( − n ) = − B n + 1 n + 1 . {\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}.} Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
Logarytm funkcji zeta można wyrazić jako[12] :
log ζ ( z ) = z ∫ 2 ∞ π ( x ) x ( x z − 1 ) d x , {\displaystyle \log \zeta (z)=z\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{z}-1)}}dx,} gdzie π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} to funkcja licząca liczby pierwsze [13] .
Funkcja ζ {\displaystyle \zeta } jest podstawowym obiektem badań analitycznej teorii liczb . Jest to funkcja meromorficzna, która swoim zachowaniem opisuje zjawiska dyskretne, takie jak rozmieszczenie liczb pierwszych . Mówiąc dokładniej, nietrywialne miejsca zerowe funkcji zeta występują we wzorach opisujących chociażby funkcję liczącą liczby pierwsze czy funkcję Czebyszewa .
Znając wzór
ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ Λ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}} i oznaczając drugą funkcję Czebyszewa jako ψ ( x ) = ∑ n ⩽ x Λ ( n ) {\textstyle \psi (x)=\sum _{n\leqslant x}\Lambda (n)} oraz ψ 0 ( x ) = ψ ( x ) − 1 2 Λ ( x ) {\textstyle \psi _{0}(x)=\psi (x)-{\frac {1}{2}}\Lambda (x)} dla x {\displaystyle x} całkowitych i ψ 0 ( x ) = ψ ( x ) {\textstyle \psi _{0}(x)=\psi (x)} dla wszystkich pozostałych, możemy skorzystać ze wzoru Perrona by uzyskać
ψ 0 ( x ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ 1 − i T 1 + i T ζ ′ ( s ) ζ ( s ) x s s d s . {\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{1-iT}^{1+iT}{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}{\frac {x^{s}}{s}}ds.} Stąd otrzymujemy wzór explicite
ψ 0 ( x ) = x − log ( 2 π ) − ∑ ρ x ρ ρ − ∑ ρ t x ρ t ρ t , {\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\log(2\pi )-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\sum _{\rho _{t}}{\frac {x^{\rho _{t}}}{\rho _{t}}},} gdzie ∑ ρ {\textstyle \sum _{\rho }} i ∑ ρ t {\textstyle \sum _{\rho _{t}}} oznaczają odpowiednio sumy po wszystkich nietrywialnych i trywialnych miejscach zerowych funkcji ζ . {\displaystyle \zeta .} Widzimy, że
∑ ρ t x ρ t ρ t = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k x 2 k = log ( 1 − 1 x 2 ) . {\displaystyle \sum _{\rho _{t}}{\frac {x^{\rho _{t}}}{\rho _{t}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2kx^{2k}}}=\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right).} Zatem[14]
ψ 0 ( x ) = x − log ( 2 π ) − log ( 1 − 1 x 2 ) − ∑ ρ x ρ ρ . {\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\log(2\pi )-\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right)-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}.} Niech π {\displaystyle \pi } będzie funkcją liczącą liczby pierwsze . Równoważnie, jeśli oznaczymy przez π 0 ( x ) = π ( x ) − 1 2 {\textstyle \pi _{0}(x)=\pi (x)-{\frac {1}{2}}} dla x {\displaystyle x} pierwszych oraz π 0 ( x ) = π ( x ) {\textstyle \pi _{0}(x)=\pi (x)} dla pozostałych x , {\displaystyle x,} sumując po częściach , otrzymamy[15]
π 0 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n li ( x 1 n ) − ∑ ρ ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n li ( x ρ n ) , {\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}{\text{li}}(x^{\frac {1}{n}})-\sum _{\rho }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}{\text{li}}(x^{\frac {\rho }{n}}),} gdzie li {\displaystyle {\text{li}}} oznacza logarytm całkowy .
Z powyższych możemy wnioskować, że udowodnienie, że ζ {\displaystyle \zeta } nie ma żadnych zer na prostej ℜ ( s ) = 1 {\displaystyle \Re (s)=1} jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych, a hipoteza Riemanna jest równoważna z błędem w szacowaniu rzędu π ( x ) = Li ( x ) + O ( x 1 2 + ϵ ) . {\textstyle \pi (x)={\text{Li}}(x)+O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right).}
Moduły funkcji Z Riemanna-Siegela (linia przerywana) oraz funkcji zeta Riemanna (linia ciągła) na prostej krytycznej Równanie funkcyjne mówi, że funkcja Riemanna przyjmuje wartość równą 0 dla wszystkich ujemnych liczb parzystych, czyli − 2 , − 4 , − 6 , … {\displaystyle -2,-4,-6,\dots } Są to tzw. zera trywialne . Są trywialne w takim sensie, że łatwo jest udowodnić ich występowanie, ponieważ są one miejscami, w których sinus przyjmuje wartość 0. O wiele większe znaczenie mają zera nietrywialne , czyli wszystkie miejsca zerowe niebędące zerami trywialnymi.
Wiadomo, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe muszą leżeć na pasie krytycznym , zdefiniowanym jako { s ∈ C : 0 < ℜ ( s ) < 1 } . {\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \;\colon \;0<\Re (s)<1\}.} Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe leżą na prostej krytycznej ℜ ( s ) = 1 2 . {\textstyle \Re (s)={\frac {1}{2}}.}
Niech N ( T ) {\displaystyle N(T)} oznacza liczbę miejsc zerowych funkcji Riemanna postaci s = 1 2 + i t {\textstyle s={\frac {1}{2}}+it} przy 0 < t < T . {\displaystyle 0<t<T.} W 1921 Hardy i Littlewood udowodnili, że nieskończenie wiele nietrywialnych zer leży na prostej krytycznej[16] , a dokładniej mówiąc wykazali, że dla każdego ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} istnieje stała T 0 {\displaystyle T_{0}} taka, że
N ( T ) > T 3 4 − ϵ {\displaystyle N(T)>T^{{\frac {3}{4}}-\epsilon }} dla wszystkich T > T 0 . {\displaystyle T>T_{0}.}
Współcześnie wiadomo, że
N ( T ) = T 2 π log T 2 π − T 2 π + O ( log T ) {\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log T)} dla T ⩾ 4. {\displaystyle T\geqslant 4.} Ponadto, jeśli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to[17]
N ( T ) = T 2 π log T 2 π − T 2 π + O ( log T log log T ) {\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O\left({\frac {\log T}{\log \log T}}\right)} W 1989 Conrey udowodnił, że przynajmniej 2 5 {\textstyle {\frac {2}{5}}} z nich musi leżeć na tej prostej[18] .
ζ ( − 1 ) = − 1 12 ≈ − 0,083 3333 {\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}\approx -0{,}0833333} ζ ( 2 ) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … = π 2 6 ≈ 1,644 9341 {\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449341} [19] ζ ( 4 ) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + … = π 4 90 ≈ 1,082 3232 {\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1{,}0823232} [19] ζ ( 6 ) = 1 + 1 2 6 + 1 3 6 + … = π 6 945 ≈ 1,017 3431 {\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\approx 1{,}0173431} [19] ζ ( 8 ) = 1 + 1 2 8 + 1 3 8 + … = π 8 9450 ≈ 1,004 0774 {\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\approx 1{,}0040774} ζ ( 10 ) = 1 + 1 2 10 + 1 3 10 + … = π 10 93555 ≈ 1,000 9946 {\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\approx 1{,}0009946} Ogólnie, dla p ∈ N , {\displaystyle p\in \mathbb {N} ,} mamy:
ζ ( 2 p ) = ( − 1 ) p + 1 ⋅ B 2 p ⋅ ( 2 π ) 2 p 2 ⋅ ( 2 p ) ! , {\displaystyle \zeta (2p)={\frac {(-1)^{p+1}\cdot B_{2p}\cdot (2\pi )^{2p}}{2\cdot (2p)!}},} [20] gdzie B 2 p {\displaystyle B_{2p}} to liczba Bernoulliego z indeksem 2 p . {\displaystyle 2p.}
↑ Funkcja dzeta (zeta) Riemanna , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-14] . ↑ Enrico E. Bombieri Enrico E. , The Riemann Hypothesis – official problem description [online], Clay Mathematics Institute, 8 sierpnia 2014 [dostęp 2023-12-17] [zarchiwizowane z adresu 2015-12-22] (ang. ) . ↑ a b Georg Friedrich Bernhard G.F.B. Riemann Georg Friedrich Bernhard G.F.B. , Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse , „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859 .brak strony (czasopismo) ↑ a b Titchmarsh 1986 ↓ , s. 1. ↑ Integral Representation of Riemann Zeta Function in terms of Fractional Part - ProofWiki [online], proofwiki.org [dostęp 2024-04-23] (ang. ) . ↑ Montgomery i Vaughan 2006 ↓ , s. 24. ↑ Titchmarsh 1986 ↓ , s. 13–29. ↑ Montgomery i Vaughan 2006 ↓ , s. 22. ↑ Titchmarsh 1986 ↓ , s. 4–5. ↑ Titchmarsh 1986 ↓ , s. 6. ↑ Montgomery i Vaughan 2006 ↓ , s. 23. ↑ Titchmarsh 1986 ↓ , s. 2. ↑ Titchmarsh 1986 ↓ , s. 4. ↑ Tao T., 254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory , What’s new, 10 grudnia 2014 [dostęp 2023-12-12] (ang. ). ↑ Daniel D. Hutama Daniel D. , Implementation of Riemann’s Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage [online], Institut des sciences mathématiques, 2017 (ang. ) . ↑ G.H. G.H. Hardy G.H. G.H. , J.E. J.E. Littlewood J.E. J.E. , The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line , „Mathematische Zeitschrift”, 10 (3–4), 1921 , s. 283–317, DOI : 10.1007/bf01211614 , ISSN 0025-5874 [dostęp 2023-12-17] . ↑ Montgomery i Vaughan 2006 ↓ , s. 454. ↑ J.B. J.B. Conrey J.B. J.B. , More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line. , „Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)”, 1989 (399), 1989 , s. 1–26, DOI : 10.1515/crll.1989.399.1 , ISSN 0075-4102 [dostęp 2023-12-17] . ↑ a b c Maligranda 2008 ↓ , s. 55. ↑ Maligranda 2008 ↓ , s. 62. E.C. E.C. Titchmarsh E.C. E.C. , The theory of the Riemann zeta-function , second edition, Oxford: Clarendon Press, 1986 (ang. ) . Hugh L. H.L. Montgomery Hugh L. H.L. , Robert C. R.C. Vaughan Robert C. R.C. , Multiplicative Number Theory I , Cambridge University Press, 16 listopada 2006, DOI : 10.1017/cbo9780511618314 , ISBN 978-0-521-84903-6 [dostęp 2023-12-17] (ang. ) . Lech L. Maligranda Lech L. , Szeregi w pracach Eulera , „Antiquitates Mathematicae”, 2, 2008, s. 47–67, DOI : 10.14708/am.v2i1.609 , ISSN 1898-5203 , URN: urn:nbn:se:ltu:diva-13072 .