Wykres wartości funkcji Möbiusa dla n < 50 {\displaystyle n<50} Funkcja Möbiusa, funkcja μ {\displaystyle \mu } – funkcja arytmetyczna określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 roku[1] i zdefiniowana w następujący sposób:
μ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \mu (1)=1} , μ ( n ) = 0 {\displaystyle \mu (n)=0} , jeśli liczba n {\displaystyle n} jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej (jest kwadratowa ), μ ( n ) = ( − 1 ) k {\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k}} , jeśli liczba n {\displaystyle n} jest iloczynem k {\displaystyle k} parami różnych liczb pierwszych (jest bezkwadratowa ). Funkcja μ {\displaystyle \mu } wykorzystywana jest często w elementarniej i analitycznej teorii liczb . Występuje w twierdzeniu Möbiusa o odwracaniu .
Wartości funkcji Möbiusa dla małych n {\displaystyle n} (ciąg A008683 w OEIS ):
n {\displaystyle n} 1 {\displaystyle 1} 2 {\displaystyle 2} 3 {\displaystyle 3} 4 {\displaystyle 4} 5 {\displaystyle 5} 6 {\displaystyle 6} 7 {\displaystyle 7} 8 {\displaystyle 8} 9 {\displaystyle 9} 10 {\displaystyle 10} 11 {\displaystyle 11} 12 {\displaystyle 12} 13 {\displaystyle 13} 14 {\displaystyle 14} 15 {\displaystyle 15} 16 {\displaystyle 16} 17 {\displaystyle 17} 18 {\displaystyle 18} 19 {\displaystyle 19} 20 {\displaystyle 20} μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} 1 {\displaystyle 1} − 1 {\displaystyle -1} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 1 {\displaystyle 1} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0}
Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:
μ ( n ) = − 1 {\displaystyle \mu (n)=-1} (A030059 w OEIS) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,... μ ( n ) = 0 {\displaystyle \mu (n)=0} (A013929 w OEIS) 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,... μ ( n ) = 1 {\displaystyle \mu (n)=1} (A030229 w OEIS) 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,...
Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza, że
μ ( a ) ⋅ μ ( b ) = μ ( a b ) {\displaystyle \mu (a)\cdot \mu (b)=\mu (ab)} ,
jeśli a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} są liczbami względnie pierwszymi . Nie jest jednak funkcją całkowicie multiplikatywną .
Dla dowolnej liczby całkowitej n {\displaystyle n} zachodzi
∑ d | n μ ( d ) = { 1 gdy n = 1 0 gdy n > 1 , {\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{ gdy }}n=1\\0&{\text{ gdy }}n>1,\end{cases}}}
gdzie ∑ d | n {\textstyle \sum _{d|n}} oznacza sumę po wszystkich dodatnich dzielnikach liczby n {\displaystyle n} . Fakt ten wykorzystywany jest chociażby w konstrukcji sita Selberga .
Funkcja Möbiusa spełnia równości opisujące funkcję zeta Riemanna na półpłaszczyźnie zespolonej . Dla każdej liczby zespolonej s {\displaystyle s} o części rzeczywistej ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} zachodzi równość
1 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}} .
Można ją wywnioskować z iloczynu Eulera funkcji zeta,
ζ ( s ) = ∏ p ( 1 − 1 p s ) − 1 {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}}
zbieżnego na tej półpłaszczyźnie.
Ponadto
∑ n = 1 ∞ μ ( n ) 2 n s = ζ ( s ) ζ ( 2 s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}} .
Funkcja μ {\displaystyle \mu } występuje w następujących szeregach zbieżnych :
∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n = 0 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0} , co jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych [2] , ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) log n n = − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\log n}{n}}=-1} , gdzie log {\displaystyle \log } to logarytm naturalny , ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) ( log n ) 2 n = − 2 γ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)(\log n)^{2}}{n}}=-2\gamma } , gdzie γ {\displaystyle \gamma } jest stałą Eulera-Masheroniego . Szeregiem Lamberta funkcji Möbiusa jest szereg
∑ n = 1 ∞ μ ( n ) q n 1 − q n = q {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q} ,
który jest zbieżny dla | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} . Dodatkowo, dla dowolnej liczby pierwszej p ⩾ 2 {\displaystyle p\geqslant 2} zachodzi
∑ n = 1 ∞ μ ( p n ) q n q n − 1 = ∑ n = 1 ∞ q p n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{p^{n}}}
również dla | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} .
Związek z funkcjami trygonometrycznymi [ edytuj | edytuj kod ] Spójrzmy na ciąg ułamków
1 42 , 2 42 , 3 42 , … , 39 42 , 40 42 , 41 42 . {\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.} Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:
1 42 , 5 42 , 11 42 , … , 31 42 , 37 42 , 41 42 . {\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.} Utwórzmy sumę:
cos ( 2 π ⋅ 1 42 ) + cos ( 2 π ⋅ 5 42 ) + … + cos ( 2 π ⋅ 37 42 ) + cos ( 2 π ⋅ 41 42 ) . {\displaystyle \cos \left(2\pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\ldots +\cos \left(2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right).} Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową : 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie
∑ 1 ⩽ x < n , NWD ( x , n ) = 1 cos ( 2 π ⋅ x n ) = μ ( n ) . {\displaystyle \sum _{1\leqslant x<n,\operatorname {NWD} (x,n)=1}\cos \left(2\pi \cdot {\frac {x}{n}}\right)=\mu (n).} Osobny artykuł: Funkcja Mertensa . W teorii liczb inną funkcją zdefiniowaną przy pomocy funkcji Möbiusa, mającą duże znaczenie jest funkcja Mertensa
M ( x ) = ∑ n ⩽ x μ ( n ) {\displaystyle M(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)} .
Zależność M ( x ) = o ( x ) {\displaystyle M(x)=o(x)} jest równoważna z twierdzeniem o liczbach pierwszych [2] , a M ( x ) = O ( x 1 2 + ϵ ) {\textstyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)} - z hipotezą Riemanna [3] .
↑ August Ferdinand A.F. Möbius August Ferdinand A.F. , Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen , „Journal für die reine und angewandte Mathematik”, 9, 1832, s. 105-123 (niem. ) . ↑ a b Tom M. T.M. Apostol Tom M. T.M. , Introduction to Analytic Number Theory , „Undergraduate Texts in Mathematics”, 1976, DOI : 10.1007/978-1-4757-5579-4 , ISSN 0172-6056 [dostęp 2023-12-11] (ang. ) . ↑ Edward C. E.C. Titchmarsh Edward C. E.C. , D.R. D.R. Heath-Brown D.R. D.R. , The theory of the Riemann zeta-function , wyd. 2. ed., repr, Oxford science publications, Oxford: Clarendon Pr, 2007, ISBN 978-0-19-853369-6 [dostęp 2023-12-11] .brak strony (książka) pojęcia definiujące ciągi ogólne ciągi liczbowe
typy ciągów przykłady ciągów liczb naturalnych inne przykłady ciągów liczb twierdzenia powiązane pojęcia