Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich.
Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że większość stwierdzeń dotyczących działań na liczbach porządkowych jest dowodliwa na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (zwykle aksjomat wyboru nie jest potrzebny, choć tutaj, zgodnie z tradycją przyjętą w matematyce, zakłada się ZFC). Ponadto bardzo rzadko spotyka się w niej wyniki niezależnościowe.
Arytmetyka liczb porządkowych kardynalnych różni się także od arytmetyki liczb rzeczywistych , choć można dostrzec między nimi pewne analogie.
Na liczbach porządkowych rozważa się następujące działania dwuargumentowe : dodawanie , mnożenie i potęgowanie liczb porządkowych. Operacje dodawania i mnożenia można zdefiniować na dwa sposoby (dające ten sam wynik); poniżej przedstawiono oba podejścia.
Dodawanie i mnożenie: definicje konstrukcyjne [ edytuj | edytuj kod ] Operacje „+” i „·” na liczbach porządkowych można wprowadzić przez pewne konstrukcje zbiorów dobrze uporządkowanych .
Przypuśćmy, że A = ( A , ⩽ A ) {\displaystyle \mathbf {A} =(A,\leqslant _{A})} oraz B = ( B , ⩽ B ) {\displaystyle \mathbf {B} =(B,\leqslant _{B})} są dobrymi porządkami. Dla uproszczenia opisu załóżmy też, że zbiory A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} są rozłączne . Określamy:
A + B = ( A ∪ B , ⊑ + ) , {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =(A\cup B,\sqsubseteq ^{+}),} gdzie ⊑ + {\displaystyle \sqsubseteq ^{+}} jest relacją binarną na A ∪ B {\displaystyle A\cup B} zdefiniowaną przez x ⊑ + y {\displaystyle x\sqsubseteq ^{+}y} wtedy i tylko wtedy, gdy ( x , y ∈ A ∪ B ) {\displaystyle (x,y\in A\cup B)} oraz x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} i x ⩽ A y {\displaystyle x\leqslant _{A}y\;{}} lub x , y ∈ B {\displaystyle x,y\in B} i x ⩽ B y {\displaystyle x\leqslant _{B}y\;{}} lub x ∈ A {\displaystyle x\in A} i y ∈ B . {\displaystyle y\in B.} A ⋅ B = ( A × B , ⊑ ∘ ) , {\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\mathbf {B} }=(A\times B,\sqsubseteq ^{\circ }),} gdzie ⊑ ∘ {\displaystyle \sqsubseteq ^{\circ }} jest relacją binarną na produkcie A × B {\displaystyle A\times B} zdefiniowaną przez ( a 1 , b 1 ) ⊑ ∘ ( a 2 , b 2 ) {\displaystyle (a_{1},b_{1})\sqsubseteq ^{\circ }(a_{2},b_{2})} wtedy i tylko wtedy, gdy ( a 1 , a 2 ∈ A , {\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,} b 1 , b 1 ∈ B {\displaystyle b_{1},b_{1}\in B} ) oraz b 1 < B b 2 {\displaystyle b_{1}<_{B}b_{2}\;{}} lub b 1 = b 2 {\displaystyle b_{1}=b_{2}} i a 1 ⩽ A a 2 . {\displaystyle a_{1}\leqslant _{A}a_{2}.} Można wykazać, że zarówno A + B , {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} ,} jak i A ⋅ B {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} } są dobrymi porządkami.
Liczba porządkowa ω ⋅ ω : {\displaystyle \omega \cdot \omega {:}} każda kreska pionowa przedstawia liczbę porządkową poniżej ω ⋅ ω {\displaystyle \omega \cdot \omega } – kreski te odpowiadają liczbom postaci ω ⋅ m + n {\displaystyle \omega \cdot m+n} gdzie m {\displaystyle m} i n {\displaystyle n} są liczbami naturalnymi. Dla liczb porządkowych α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } określamy
sumę α + β {\displaystyle \alpha +\beta } jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym A + B , {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} ,} gdzie A , B {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} } są rozłącznymi kopiami α {\displaystyle \alpha } i β , {\displaystyle \beta ,} odpowiednio; iloczyn α ⋅ β {\displaystyle \alpha \cdot \beta } jako (jedyną) liczbę porządkową izomorficzną ze zbiorem dobrze uporządkowanym A ⋅ B , {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ,} gdzie A , B {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} } są kopiami α {\displaystyle \alpha } i β , {\displaystyle \beta ,} odpowiednio. Dodawanie : przez indukcję po liczbach porządkowych β , {\displaystyle \beta ,} dla każdej liczby porządkowej α , {\displaystyle \alpha ,} definiujemy α + β {\displaystyle \alpha +\beta } w sposób następujący: α + 0 = α , {\displaystyle \alpha +0=\alpha ,} α + 1 = α ∪ { α } {\displaystyle \alpha +1=\alpha \cup \{\alpha \}} jest następnikiem porządkowym liczby α , {\displaystyle \alpha ,} α + ( β + 1 ) = ( α + β ) + 1 , {\displaystyle \alpha +(\beta +1)=(\alpha +\beta )+1,} jeśli β {\displaystyle \beta } jest liczbą graniczną , to α + β = lim γ < β ( α + γ ) . {\displaystyle \alpha +\beta =\lim \limits _{\gamma <\beta }(\alpha +\gamma ).} Mnożenie : przez indukcję po liczbach porządkowych β , {\displaystyle \beta ,} dla każdej liczby porządkowej α , {\displaystyle \alpha ,} definiujemy α ⋅ β {\displaystyle \alpha \cdot \beta } w sposób następujący: α ⋅ 0 = 0 , {\displaystyle \alpha \cdot 0=0,} α ⋅ ( β + 1 ) = α ⋅ β + α , {\displaystyle \alpha \cdot (\beta +1)=\alpha \cdot \beta +\alpha ,} jeśli β {\displaystyle \beta } jest liczbą graniczną, to α ⋅ β = lim γ < β ( α ⋅ γ ) . {\displaystyle \alpha \cdot \beta =\lim \limits _{\gamma <\beta }(\alpha \cdot \gamma ).} Potęgowanie : przez indukcję po liczbach porządkowych β , {\displaystyle \beta ,} dla każdej liczby porządkowej α , {\displaystyle \alpha ,} definiujemy α β {\displaystyle \alpha ^{\beta }} w sposób następujący: α 0 = 1 , {\displaystyle \alpha ^{0}=1,} α β + 1 = α β ⋅ α , {\displaystyle \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha ,} jeśli β {\displaystyle \beta } jest liczbą graniczną, to α β = lim γ < β α γ . {\displaystyle \alpha ^{\beta }=\lim \limits _{\gamma <\beta }\alpha ^{\gamma }.} Pewne własności „zwykłych” działań na liczbach rzeczywistych są prawdziwe dla działań na liczbach porządkowych, ale wiele nie. Dla dowolnych liczb porządkowych α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } prawdziwe są następujące równości:
( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) {\displaystyle (\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )} oraz ( α ⋅ β ) ⋅ γ = α ⋅ ( β ⋅ γ ) , {\displaystyle (\alpha \cdot \beta )\cdot \gamma =\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma ),} α + 0 = 0 + α = α , {\displaystyle \alpha +0=0+\alpha =\alpha ,} α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0 {\displaystyle \alpha \cdot 0=0\cdot \alpha =0} oraz α ⋅ 1 = 1 ⋅ α = α , {\displaystyle \alpha \cdot 1=1\cdot \alpha =\alpha ,} α ⋅ ( β + γ ) = ( α ⋅ β ) + ( α ⋅ γ ) , {\displaystyle \alpha \cdot (\beta +\gamma )=(\alpha \cdot \beta )+(\alpha \cdot \gamma ),} γ α + β = γ α ⋅ γ β {\displaystyle \gamma ^{\alpha +\beta }=\gamma ^{\alpha }\cdot \gamma ^{\beta }} oraz ( β α ) γ = β α ⋅ γ , {\displaystyle (\beta ^{\alpha })^{\gamma }=\beta ^{\alpha \cdot \gamma },} α 0 = 1 {\displaystyle \alpha ^{0}=1} oraz α ≠ 0 ⟹ 0 α = 0 , {\displaystyle \alpha \neq 0\implies 0^{\alpha }=0,} α 1 = α {\displaystyle \alpha ^{1}=\alpha } oraz 1 α = 1. {\displaystyle 1^{\alpha }=1.} Przypomnijmy, że ω = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \omega =\{0,1,2,3,\dots \}} jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową.
Ani dodawanie, ani mnożenie liczb porządkowych nie są przemienne , gdyż na przykład: 888 + ω = ω < ω + 888 {\displaystyle 888+\omega =\omega <\omega +888} oraz 888 ⋅ ω = ω < ω ⋅ 888 {\displaystyle 888\cdot \omega =\omega <\omega \cdot 888} Prawostronna rozdzielność mnożenia względem dodawania na ogół nie zachodzi: ( ω + 888 ) ⋅ 2 = ( ω + 888 ) + ( ω + 888 ) = ω + ω + 888 , {\displaystyle (\omega +888)\cdot 2=(\omega +888)+(\omega +888)=\omega +\omega +888,} ale ω ⋅ 2 + 888 ⋅ 2 = ω + ω + 1776 ≠ ω + ω + 888 , {\displaystyle \omega \cdot 2+888\cdot 2=\omega +\omega +1776\neq \omega +\omega +888,} ( ω + ω ) ⋅ ω = ω ⋅ ω , {\displaystyle (\omega +\omega )\cdot \omega =\omega \cdot \omega ,} ( ω ⋅ 2 ) 2 = ( ω + ω ) ⋅ ( ω + ω ) = ω ⋅ ω + ω ⋅ ω < ω ⋅ ω + ω ⋅ ω + ω ⋅ ω + ω ⋅ ω = ω ⋅ ω ⋅ 4 = ω 2 ⋅ 2 2 , {\displaystyle (\omega \cdot 2)^{2}=(\omega +\omega )\cdot (\omega +\omega )=\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega <\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega +\omega \cdot \omega =\omega \cdot \omega \cdot 4=\omega ^{2}\cdot 2^{2},} 2 ω = lim n < ω 2 n = ω , {\displaystyle 2^{\omega }=\lim \limits _{n<\omega }2^{n}=\omega ,} Niech α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } będą liczbami porządkowymi, α > 0. {\displaystyle \alpha >0.} Wówczas liczba β {\displaystyle \beta } ma jednoznaczne przedstawienie postaci β = α ⋅ γ + δ {\displaystyle \beta =\alpha \cdot \gamma +\delta } gdzie γ , δ {\displaystyle \gamma ,\delta } są liczbami porządkowymi i 0 ⩽ δ < α . {\displaystyle 0\leqslant \delta <\alpha .} Twierdzenie Cantora o postaci normalnej : Każda niezerowa liczba porządkowa α > 0 {\displaystyle \alpha >0} może być przedstawiona jednoznacznie w postaci α = ω β 1 ⋅ m 1 + ω β 2 ⋅ m 2 + … + ω β n ⋅ m n {\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}\cdot m_{1}+\omega ^{\beta _{2}}\cdot m_{2}+\ldots +\omega ^{\beta _{n}}\cdot m_{n}} dla pewnych liczb naturalnych n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} oraz m 1 , … , m n > 0 {\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}>0} oraz liczb porządkowych β 1 , … , β n {\displaystyle \beta _{1},\dots ,\beta _{n}} spełniających warunek β n < β n − 1 < … < β 1 ⩽ α . {\displaystyle \beta _{n}<\beta _{n-1}<\ldots <\beta _{1}\leqslant \alpha .} Liczby porządkowe α dla których zachodzi równość ω α = α {\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha } były nazwane przez Cantora liczbami epsilonowymi ; tworzą one klasę właściwą. Najmniejszą liczbą epsilonową jest ε 0 = sup { ω ω , ω ω ω , ω ω ω ω , … } . {\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}.} (a) β + ε = ε {\displaystyle \beta +\varepsilon =\varepsilon } dla każdej liczby β < ε , {\displaystyle \beta <\varepsilon ,} (b) β ⋅ ε = ε {\displaystyle \beta \cdot \varepsilon =\varepsilon } dla każdej liczby 1 ⩽ β < ε , {\displaystyle 1\leqslant \beta <\varepsilon ,} (c) β ε = ε {\displaystyle \beta ^{\varepsilon }=\varepsilon } dla każdej liczby 2 ⩽ β < ε . {\displaystyle 2\leqslant \beta <\varepsilon .} Dowód twierdzenia Goodsteina używa cantorowskiej postaci normalnej dla liczb porządkowych mniejszych niż ε 0 . {\displaystyle \varepsilon _{0}.} W 1906 roku niemiecki matematyk Gerhard Hessenberg [1] wprowadził dwie dodatkowe operacje na liczbach porządkowych: naturalną sumę i naturalny produkt . Czasami operacje te są nazywane sumą Hessenberga i produktem Hessenberga , odpowiednio. Są one zdefiniowane w taki sposób, że przedstawiamy dane liczby porządkowe w postaci normalnej Cantora i działania wykonujemy, traktując te rozwinięcia jak formalne wielomiany zmiennej ω . {\displaystyle \omega .}
Niech α {\displaystyle \alpha } i β {\displaystyle \beta } będą liczbami porządkowymi. Na mocy twierdzenia Cantora o postaci normalnej możemy znaleźć liczby naturalne n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} oraz m 1 , … , m n , k 1 , … , k n {\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n},k_{1},\dots ,k_{n}} oraz liczby porządkowe ξ n < ξ n − 1 < … < ξ 1 {\displaystyle \xi _{n}<\xi _{n-1}<\ldots <\xi _{1}} takie, że
α = ω ξ 1 ⋅ m 1 + ω ξ 2 ⋅ m 2 + … + ω ξ n ⋅ m n {\displaystyle \alpha =\omega ^{\xi _{1}}\cdot m_{1}+\omega ^{\xi _{2}}\cdot m_{2}+\ldots +\omega ^{\xi _{n}}\cdot m_{n}} oraz β = ω ξ 1 ⋅ k 1 + ω ξ 2 ⋅ k 2 + … + ω ξ n ⋅ k n . {\displaystyle \beta =\omega ^{\xi _{1}}\cdot k_{1}+\omega ^{\xi _{2}}\cdot k_{2}+\ldots +\omega ^{\xi _{n}}\cdot k_{n}.} Określamy teraz sumę naturalną α ( + ) β {\displaystyle \alpha (+)\beta } przez
α ⊕ β = ω ξ 1 ⋅ ( k 1 + m 1 ) + ω ξ 2 ⋅ ( k 2 + m 2 ) + … + ω ξ n ⋅ ( k n + m n ) . {\displaystyle \alpha \oplus \beta =\omega ^{\xi _{1}}\cdot (k_{1}+m_{1})+\omega ^{\xi _{2}}\cdot (k_{2}+m_{2})+\ldots +\omega ^{\xi _{n}}\cdot (k_{n}+m_{n}).} Definicja produktu naturalnego α ⊙ β {\displaystyle \alpha \odot \beta } jest trochę bardziej skomplikowana: traktujemy wyrażenia ω ξ 1 ⋅ m 1 + ω ξ 2 ⋅ m 2 + … + ω ξ n ⋅ m n {\displaystyle \omega ^{\xi _{1}}\cdot m_{1}+\omega ^{\xi _{2}}\cdot m_{2}+\ldots +\omega ^{\xi _{n}}\cdot m_{n}} i ω ξ 1 ⋅ k 1 + ω ξ 2 ⋅ k 2 + … + ω ξ n ⋅ k n {\displaystyle \omega ^{\xi _{1}}\cdot k_{1}+\omega ^{\xi _{2}}\cdot k_{2}+\ldots +\omega ^{\xi _{n}}\cdot k_{n}} jakby przedstawiały wielomiany zmiennej ω. Dla każdej pary liczb naturalnych 1 ⩽ i , j ⩽ n {\displaystyle 1\leqslant i,j\leqslant n} rozważamy liczbę ω ξ i ⊕ ξ j ⋅ m i ⋅ k j {\displaystyle \omega ^{\xi _{i}\oplus \xi _{j}}\cdot m_{i}\cdot k_{j}} (zwróćmy uwagę, że w wykładniku potęgi mamy operację sumy naturalnej ). Produkt naturalny α ⊙ β {\displaystyle \alpha \odot \beta } jest zdefiniowany jako suma (w sensie +) wszystkich wyrażeń postaci ω ξ i ⊕ ξ j ⋅ m i ⋅ k j {\displaystyle \omega ^{\xi _{i}\oplus \xi _{j}}\cdot m_{i}\cdot k_{j}} uporządkowanych tak, że wykładniki maleją.
Obie operacje, ⊕ {\displaystyle \oplus } i ⊙ , {\displaystyle \odot ,} są przemienne i łączne . Zauważmy, że
( ω + 1 ) + ( ω + 1 ) = ω ⋅ 2 + 1 , {\displaystyle (\omega +1)+(\omega +1)=\omega \cdot 2+1,} ale ( ω + 1 ) ⊕ ( ω + 1 ) = ω ⋅ 2 + 2 , {\displaystyle (\omega +1)\oplus (\omega +1)=\omega \cdot 2+2,} oraz ( ω + 1 ) ⋅ ( ω + 1 ) = ω 2 + ω + 1 , {\displaystyle (\omega +1)\cdot (\omega +1)=\omega ^{2}+\omega +1,} ale ( ω + 1 ) ⊙ ( ω + 1 ) = ω 2 + ω ⋅ 2 + 1. {\displaystyle (\omega +1)\odot (\omega +1)=\omega ^{2}+\omega \cdot 2+1.} W roku 1954 G.H. Toulmin udowodnił[2] , że jeżeli X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} są przestrzeniami regularnymi , to
ind X × Y ⩽ ( ind X ⊕ ind Y ) + n , {\displaystyle \operatorname {ind} X\times Y\leqslant (\operatorname {ind} X\oplus \operatorname {ind} Y)+n,} gdzie ind oznacza mały wymiar induktywny oraz n {\displaystyle n} jest liczbą naturalną zależną od wymiarów przestrzeni X {\displaystyle X} i Y . {\displaystyle Y.} Gary Brookfield udowodnił[3] , że jeżeli R {\displaystyle R} jest pierścieniem noetherowskim , to
len R [ x ] = ω ⊙ len R , {\displaystyle \operatorname {len} R[x]=\omega \odot \operatorname {len} R,} gdzie len jest liczbą porządkową mierzącą długość ideałową pierścienia R , {\displaystyle R,} w pewnym sensie dokładniej niż wymiar Krulla (pojęcie to wprowadził Gulliksen[4] ).
↑ Hessenberg G.: Grundbegriffe der Mengenlehre , Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1906. ↑ Toulmin G.H., Shuffling ordinals and transfinite dimension , Proc. London Math. Soc., 4 (1954), s. 177–195. ↑ Brookfield G., The Length of Noetherian Polynomial Rings . Communications in Algebra, 1532-4125, (31), Issue 11, 2003, s. 5591–5607. [1] . ↑ Gulliksen T.H., A Theory of Length for Noetherian Modules , J. of Pure and Appl., Algebra 1973, 3, s. 159–170. główne dyscypliny z arytmetyką w nazwie
działy ogólne według trudności według celu inne
działy czyste działy stosowane powiązane dyscypliny