Aproksymacja średniokwadratowa – aproksymacja, której celem jest minimalizacja błędu na przedziale
Istotność błędu w poszczególnych punktach mierzy się za pomocą funkcji wagowej
Jeśli funkcję
próbuje się przybliżać za pomocą
to minimalizuje się błąd:
| | ![{\displaystyle E=\int \limits _{a}^{b}w(x)[\varphi (x)-f(x)]^{2}\;dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a4c16451f6f36ce6e908764f05fc44db544e11)
| | (a) |
Ze względów praktycznych stosuje się inną definicję błędu, umożliwiającą prostszą jego minimalizację
| | ![{\displaystyle R=\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2c7e55717750d1cbe6e583cbc2ef4c5bcd22e1)
| | (b) |
zwłaszcza wtedy, gdy przyjmie się dodatkowo
| | ![{\displaystyle \varphi (x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,...\,+a_{m}x^{m}=\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i},\quad m<n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c21b62be7ffdc1443cfc9a263fe254f6292dab9)
| | (c) |
Warunek stacjonarności funkcji
przybiera postać
| | ![{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {\partial R}{\partial a_{k}}}&={\tfrac {\partial }{\partial a_{k}}}\left\{\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]^{2}\right\}\\&=2\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]{\tfrac {\partial }{\partial a_{k}}}\varphi (x_{i})\\&=\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]x_{i}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{n}\left\{[x_{i}^{k}\;\;x_{i}^{k+1}\;\;...\;\;x_{i}^{k+m}]\mathbf {a} -f_{i}x_{i}^{k}\right\}\\&=0,\qquad k=0,\,1,\,...\,m,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb39efbaabe129af7469cbf4bffb59975604799) | | (d) |
gdzie