Laplace-operator er en differensiell vektor-operator i matematikk, definert som divergensen til gradienten til en funksjon i et euklidsk rom. Laplace-operatoren anvendt på en funksjon
skrives som regel som
,
eller
, der
er nabla-operatoren[1].
Laplace-operatoren er en andreordens differensialoperator som i kartesiske koordinater er gitt ved:
![{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4596ff5135dfee6c1cae183645082d94d3cb92)
Merk at
må være to ganger deriverbar og at
er definert ved:
![{\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba04765b4efe3ddea03e924ed1afd7552b45a1c)
Hvordan Laplace operatoren uttrykkes, avhenger av koordinatsystemet.
I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df74581e8c913a775fb8b89a1811d5d66a90a12)
der
og
er standard kartesiske koordinater i
-planet.
I et polarkoordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599191efad447e40ed1932451e4d0f5d5574c55f)
der
er avstand fra origo og
er vinkel i forhold til det man vil kalle
-aksen i et kartesisk koordinatsystem.
I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved
![{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33587fedbb79ea8527c34eca0f99b261dd1e4c17)
der
,
og
er standard kartesiske koordinater i
-rommet.
I sylinderkoordinater er Laplace operatoren gitt ved
![{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20e6ee48d28e54d9887a5668e2c6890ca164095)
der
er avstand fra origo til projeksjonen i
-planet,
er vinkel i forhold til det man vil kalle
-aksen i et kartesisk koordinatsystem, og
er høyden.
I kulekoordinater er Laplace operatoren gitt ved
![{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \Phi \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698d688f1309b76351d9ae2c02ee5cb77aab9de0)
der
er avstand fra origo og
angir vinkelen.