Vergrotende breedte

De vergrotende breedte \B of wassende breedte (meridional parts) is de toenemende breedte op kaarten die gebruikmaken van een niet-parallelgetrouwe projectie. Daarbij neemt de schaal toe naarmate de afstand tot het raakpunt groter wordt.

Om de loxodroom tussen twee posities uit te rekenen, wordt bij loxodroomnavigatie gebruikgemaakt van het vergrotende breedteverschil Δ\B.

Mercatorprojectie[bewerken | brontekst bewerken]

De mercatorprojectie wordt ook wel vergrotende breedtekaart of wassende kaart genoemd. Deze kaart heeft een orthogonaal coördinatenstelsel waarbij de afstand tussen de meridianen gelijk blijft aan die op de evenaar. Op Aarde neemt deze echter af volgens:

${\displaystyle \Delta l_{\varphi }=\Delta l_{0}\cdot \cos \varphi }$

De schaal op de evenaar s₀ verhoudt zich daardoor tot de schaal op breedtegraad φ s_φ volgens de schaalformule:

${\displaystyle s_{\varphi }={s_{0} \over \cos \varphi }}$

Dit is in de richting van de parallel. Om de schaal in de richting van de meridiaan hieraan gelijk te maken, moet de afstand tussen de parallellen toenemen. Dit is de vergrotende breedte die kan worden berekend volgens de bol of volgens een oblate sferoïde, meer specifiek een referentie-ellipsoïde.

Bol[bewerken | brontekst bewerken]

Op breedte φ geldt in boogminuten of zeemijlen:

${\displaystyle \backslash \!B={10800 \over \pi }\ln \tan \left({\pi \over 4}+{\varphi \over 2}\right)}$

Deze functie is verwant aan de inverse Gudermannfunctie.

Ellipsoïde[bewerken | brontekst bewerken]

De vorm van de Aarde wordt echter beter benaderd door een referentie-ellipsoïde dan door een bol. De formule voor een ellipsoïde in boogminuten is:

${\displaystyle \backslash \!B={10800 \over \pi }\left[\ln \tan \left({\pi \over 4}+{\varphi \over 2}\right)-e^{2}sin\varphi -{\frac {1}{3}}e^{4}sin^{3}\varphi -{\frac {1}{5}}e^{6}sin^{5}\varphi -\ldots \right]}$

waarbij e de excentriciteit is.

Vergrotende breedteverschil[bewerken | brontekst bewerken]

Voor het vergrotende breedteverschil tussen positie A en B geldt:

${\displaystyle \Delta \backslash \!B_{AB}={180^{\circ } \over \pi }\ln \left[{\frac {\tan \left({\pi \over 4}+{\varphi _{B} \over 2}\right)}{\tan \left({\pi \over 4}+{\varphi _{A} \over 2}\right)}}\right]}$

Schaal[bewerken | brontekst bewerken]

De schaal op de evenaar s₀ verhoudt zich tot de schaal op breedtegraad φ s_b volgens de schaalformule:

${\displaystyle s_{b}={s_{0} \over \cos b}}$

Literatuur[bewerken | brontekst bewerken]

• Draaisma, Y; Meester, J.J.; Mulders, J.H.; Spaans, J.A. (1986): Leerboek navigatie, deel 1, De Boer Maritiem,
• (1987): Admiralty Manual of Navigation, Volume 1. General Navigation, Coastal Navigation and Pilotage, The Stationery Office.