De stelling van Ostrowski is een stelling uit de getaltheorie die zegt dat elke niet-triviale absolute waarde op de rationale getallen equivalent is met ofwel de gebruikelijke absolute waarde of met een
-adische absolute waarde. De stelling werd in 1916 bewezen door Alexander Ostrowski.
Voor elk priemgetal
is de
-adische absolute waarde
gedefinieerd door:
![{\displaystyle |\,x\,|_{p}={\begin{cases}0,&{\text{voor }}x=0\\\\p^{-n},&{\text{voor }}x=p^{n}{\frac {a}{b}}{\text{ met }}a,b,p{\text{ paarsgewijze onderling priem en }}n\in \mathbb {Z} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c83fcf0aa82580324f0f555c0771f23b7b8210f)
Twee absolute waarden
en
op een verzameling
zijn equivalent, als voor alle
geldt:
![{\displaystyle |\,x\,|<1\Longleftrightarrow |\,x\,|'<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f04c3915176803f7a2a9d2f179025aad14c6e44)
Voor absolute waarden op een lichaam
is deze eis gelijkwaardig met het bestaan van een reële constante
, zo, dat voor alle
geldt:
![{\displaystyle |\,x\,|'=|\,x\,|^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5647b836c0385898861627d5871c6a35f56739b4)
Elke niet-triviale absolute waarde
op de rationale getallen
is equivalent met de absolute waarde
of met een
-adische absolute waarde
.
Er worden twee gevallen onderscheiden:
- Er is een
met ![{\displaystyle |n|_{*}>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61ac36d5ac2fe4292ff5727cba40eaaae9f870f)
- Voor alle
is ![{\displaystyle |n|_{*}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004ccb2b204f5ec541e7edc7d2299c5c3188425b)
- Geval 1
Er is een
met
. Nu is
en
, zodat
, dus
.
Zij
met
. Schrijf
-tallig:
met
en ![{\displaystyle \quad c_{m}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a9cd80c5fa5cd3f495b452b2106f9fe36dd945)
Dan is
dus ![{\displaystyle \quad m\leq k{\frac {\log n}{\log b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dffb810d84460ad17851efb1f704d65a4c62c07)
Maar
![{\displaystyle {\begin{aligned}|n|_{*}^{k}&=|n^{k}|_{*}\leq \sum _{i=0}^{m}|c_{i}b^{i}|_{*}\\&\leq (m+1)\max _{i}\{|c_{i}b^{i}|_{*}\}=(m+1)\max _{i}\{|c_{i}|_{*}|b|_{*}^{i}\}\\&\leq (m+1)\max _{i}\{|c_{i}|_{*}\}\,\max\{|b|_{*}^{m},1\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf1eaea0f08dee7348a45d405641e1bcd1f306a)
Nu is
en ![{\displaystyle \quad |b^{i}|_{*}=|b|_{*}^{i}\leq \max\{|b|_{*}^{m},1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9637b878da262fb4cc2c06a12588540aa3f7404)
dus
![{\displaystyle |n|_{*}^{k}\leq b\,(m+1)\max\{|b|_{*}^{m},1\}\leq b(k\log _{b}n+1)\max\{|b|_{*}^{k\log _{b}n},1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a056b72df4159d1f5772f5187495681a8e0d0dc3)
Dus
![{\displaystyle |n|_{*}\leq {\big (}b(k\log _{b}n+1){\big )}^{\frac {1}{k}}\max\{|b|_{*}^{\log _{b}n},1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3213de807a77efa490b3c24de3d95ad7e5b176ae)
Als
, volgt
![{\displaystyle {\big (}b(k\log _{b}n+1){\big )}^{\frac {1}{k}}\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d174a8581308e6ffcd6c155b55346dd29de70e)
zodat
![{\displaystyle |n|_{*}\leq \max\{|b|_{*}^{\log _{b}n},1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475f1275df55deff9becf3099f2194cf1890d4ae)
Samen met
blijkt dus dat
voor elke keuze van
(anders zou
, zodat
). Bijgevolg moet voor iedere
gelden
.
Dus is voor alle
:
![{\displaystyle |a|_{*}\leq |b|_{*}^{\frac {\log a}{\log b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb8f0fb6d6508f871bb2fc3a5bc9ba5ee700ddf)
of herschreven
![{\displaystyle {\frac {\log |a|_{*}}{\log a}}\leq {\frac {\log |b|_{*}}{\log b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41796edd01602b0363b44d2683ea76f50cd4d269)
Uit symmetrie volgt dan gelijkheid.
Omdat
willekeurig zijn, is er een constante
waarvoor
![{\displaystyle \log |k|_{*}=c\log k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6267805be6e20ede149c60f3c4bf801cd2fe9cb5)
d.w.z.
![{\displaystyle |k|_{*}=k^{c}=|k|^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef2f3a874f49978ee5a3fe7dde2e71bc53774a4)
voor alle
.
Dus is
ook voor alle
, waarmee de equivalentie is aangetoond.
- Geval 2
Voor alle
is
. Maar dan is er een priemgetal
, en dat is het enige, waarvoor
. Stel namelijk dat voor het priemgetal
ook geldt dat
.
Kies dan
zo, dat
en
. Volgens het algoritme van Euclides zijn er gehele getallen
waarvoor
. Dan volgt
![{\displaystyle 1=|1|_{*}\leq |a|_{*}|p|_{*}^{w}+|b|_{*}|q|_{*}^{w}<{\frac {|a|_{*}+|b|_{*}}{2}}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4df168a0bf2368a4a129c37fcdbd2de43a26ec)
wat een tegenspraak inhoudt.
Elke
is het product van priemgetallen, dus:
,
met
en
als
niet deelbaar is door
.
Maar dan is ook voor alle
![{\displaystyle |x|_{*}=|x|_{p}^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59098793d62e69027f4f1e32561acd178fcf28d)
dus is
equivalent met een
-adische absolute waarde.