횡단성

미분기하학에서, 횡단성(橫斷性, 영어: transversality)은 두 부분 다양체 또는 (보다 일반적으로) 같은 공역을 갖는 두 함수 사이에 정의되는 대칭 관계이다. 횡단성은 작은 호모토피에 대하여 불변이며(안정성), 거의 모든 함수에 대하여 성립한다(일반성). 서로 횡단적인 두 부분 다양체의 교집합은 부분 다양체를 이룬다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle M}$
• 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon X\to M}$, ${\displaystyle g\colon Y\to M}$

만약 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$가 서로 횡단적이라고 하며, ${\displaystyle f\pitchfork g}$로 표기한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$ 및 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f(x)=g(y)=m\in M}$라면, ${\displaystyle \mathrm {D} _{x}f(\mathrm {T} _{x}X)+\mathrm {D} _{y}g(\mathrm {T} _{y}Y)=\mathrm {T} _{m}M}$이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&M&{\overset {g}{\leftarrow }}&Y\\x&\mapsto &m&{\leftarrow }\!\;\!{\mapsto \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{\color {White}\!\;\blacksquare \!\!\blacksquare \!\!\!\!\!\!\!\!\!}&y\\\mathrm {T} _{x}X&{\underset {\mathrm {D} _{x}f}{\to }}&\mathrm {T} _{m}M&{\underset {\mathrm {D} _{y}g}{\leftarrow }}&\mathrm {T} _{y}Y\end{matrix}}}$

부분 다양체 ${\displaystyle X\subseteq M}$는 포함 사상 ${\displaystyle i\colon X\hookrightarrow M}$으로 여길 수 있다. 두 부분 다양체(또는 부분 다양체와 매끄러운 함수)가 서로 횡단적이라는 것은 이 포함 사상에 대한 것이다.

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$의 부분 다양체 ${\displaystyle X\hookrightarrow M}$ 및 매끄러운 함수 ${\displaystyle g\colon Y\to M}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle X\pitchfork g}$라면,

${\displaystyle g^{-1}(X)=\{y\in Y\colon g(y)\in X\}}$

는 ${\displaystyle Y}$의 부분 다양체이며, 그 여차원은 ${\displaystyle X}$의 여차원과 같다.

${\displaystyle \operatorname {codim} _{Y}g^{-1}X\dim Y-\dim g^{-1}(X)=\operatorname {codim} _{M}X=\dim M-\dim X}$

특히, 만약 ${\displaystyle g}$ 역시 매장이라고 하자. 즉, 두 부분 다양체 ${\displaystyle X,Y\subseteq M}$가 주어졌다고 하고, ${\displaystyle X\pitchfork Y}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X\cap Y\subseteq M}$ 역시 부분 다양체이며,

${\displaystyle \operatorname {codim} _{M}(X\cap Y)=\operatorname {codim} _{M}X+\operatorname {codim} _{M}Y}$

이다. 즉, ${\displaystyle \dim(X\cap Y)=\dim X+\dim Y-\dim M}$ 이다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon X\to M}$
• 매끄러운 호모토피 ${\displaystyle g\colon [0,1]\times Y\to M}$, ${\displaystyle (t,y)\mapsto g_{t}(y)}$

그렇다면, 만약 ${\displaystyle f\pitchfork g_{0}}$이라면,

${\displaystyle \inf\{t\in [0,1]\colon f\pitchfork g_{t}\}>0}$

이다. 즉, 어떤 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 모든 ${\displaystyle t\in [0,\epsilon )}$에 대하여 ${\displaystyle f\pitchfork g_{t}}$이게 된다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle X,Y,M}$
• 경계다양체 ${\displaystyle S}$
• 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon X\to M}$
• 매끄러운 함수 ${\displaystyle g\colon S\times Y\to M}$, ${\displaystyle (s,y)\mapsto g_{s}(y)}$

또한,

• ${\displaystyle f\pitchfork g}$
• ${\displaystyle f\pitchfork (g\upharpoonright \partial S\times Y)}$

라고 하자. 톰 횡단 정리(영어: Thom transversality theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 거의 모든 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle f\pitchfork g_{s}}$이다.
• 거의 모든 ${\displaystyle s\in \partial S}$에 대하여, ${\displaystyle f\pitchfork g_{s}}$이다.

여기서 “거의 모든”은 ${\displaystyle S}$ 또는 ${\displaystyle \partial S}$의 르베그 측도에 대한 것이다. 즉, 이 조건이 실패하는 ${\displaystyle s}$의 집합은 영집합이다.

톰 횡단 정리는 르네 톰이 증명하였다.

• “Transversality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Transversal mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Transversal maps”. 《nLab》 (영어). 
• “An introduction to transversality” (PDF) (영어).