모듈러 산술

수론에서 모듈러 산술(영어: modular arithmetic) 또는 합동 산술(合同算術)은 정수의 합과 곱을 어떤 주어진 수의 나머지에 대하여 정의하는 방법이다. 정수환의 몫환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 환 구조로 생각할 수 있다.

${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$이 2 이상의 정수라고 하자. 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$의 주 아이디얼 ${\displaystyle (n)}$에 대한 몫환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 원소들은 ${\displaystyle \{0,1,\dots ,n-1\}}$과 일대일 대응하며, 이는 정수를 ${\displaystyle n}$으로 나눈 나머지로 생각할 수 있다. 즉, 환 준동형

${\displaystyle \phi _{n}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /(n)}$

을, 정수를 ${\displaystyle n}$에 대한 나머지로 대응시키는 함수로 여길 수 있다.

임의의 두 정수 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립하면 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$가 법 ${\displaystyle n}$에 대하여 합동(法${\displaystyle n}$에 對하여 合同, 영어: congruent modulo ${\displaystyle n}$)이라고 한다.

• ${\displaystyle a=b+kn}$인 정수 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$가 존재한다.
• ${\displaystyle \phi _{n}(a)=\phi _{n}(b)\in \mathbb {Z} /(n)}$이다. 즉, ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$는 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 같은 동치류에 속한다.

이는 기호로는

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$

이라고 한다. 정수의 합동은 동치 관계를 이룬다.

${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$은 가환환이므로, 임의의 가환환에서와 마찬가지로 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈을 정의할 수 있으며, 덧셈과 곱셈은 결합 법칙 · 교환 법칙을 따르고, 또한 분배 법칙이 성립한다. ${\displaystyle \phi _{n}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /(n)}$이 환 준동형이므로, 임의의 ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle ab\equiv c{\pmod {n}}}$
• ${\displaystyle \phi _{n}(a)\phi _{n}(b)=\phi _{n}(c)}$

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a+b\equiv c{\pmod {n}}}$
• ${\displaystyle \phi _{n}(a)+\phi _{n}(b)=\phi _{n}(c)}$

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a\equiv -b{\pmod {n}}}$
• ${\displaystyle \phi _{n}(a)=-\phi _{n}(b)}$

 이 부분의 본문은 중국인의 나머지 정리입니다.

${\displaystyle n}$의 소인수 분해가

${\displaystyle n=\prod _{p}p^{n_{p}}}$

라고 하자. 그렇다면 중국인의 나머지 정리에 따르면 다음과 같은 가환환의 동형이 존재한다.

${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /(p^{n_{p}})}$

즉, 두 개 이상의 소인수를 갖는 수에 대한 모듈러 산술은 그 소인수들(의 거듭제곱)에 대한 합동류들을 성분별로 취급하는 것과 같다.

일반적으로, ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$은 체가 아니므로, 모듈러 산술에서 나눗셈은 일반적으로 정의되지 않는다. 다만, 만약 ${\displaystyle n}$이 소수라면 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$은 체를 이루며, 이 경우 0이 아닌 모든 수의 역수가 존재한다.

합성수 ${\displaystyle n}$에 대한 모듈러 산술의 경우, 오직 ${\displaystyle n}$과 서로소인 수만이 가역원이다 (역수를 정의할 수 있다). 이는 오일러의 정리에 따라

${\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$

이기 때문이다 (${\displaystyle \phi }$는 오일러 피 함수). 즉, ${\displaystyle n}$개의 합동류 가운데 오직 ${\displaystyle \phi (n)}$개만이 가역원이며, 가역원 ${\displaystyle a}$의 역원은 ${\displaystyle a^{\phi (n)-1}}$이다.

2가 아닌 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{k})}$의 가역원들은 총

${\displaystyle \phi (p^{k})=p^{k-1}(p-1)}$

개가 있으며 (${\displaystyle \phi }$는 오일러 피 함수), 그 가역원군은 순환군이다.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /(p^{k}))^{\times }\cong Z_{\phi (p^{k})}}$

${\displaystyle k>1}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2^{k})}$의 가역원군은 다음과 같다.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /(2^{k}))^{\times }\cong Z_{2}\times Z_{2^{k-2}}}$

일반적 합성수의 경우, 가역원군은 중국인의 나머지 정리에 따라서

${\displaystyle \left(\mathbb {Z} /\left(\prod _{p}p^{n_{p}}\right)\right)^{\times }\cong \prod _{p}(\mathbb {Z} /(p^{n_{p}}))^{\times }}$

이다.

${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$에서도 정수환의 경우와 마찬가지로 아이디얼과 소 아이디얼 및 극대 아이디얼의 개념을 정의할 수 있다. ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 아이디얼은 모두 ${\displaystyle n}$의 약수에 의하여 생성되는 주 아이디얼이다. 즉, ${\displaystyle (d)}$ (${\displaystyle d\mid n}$)의 꼴이다.

이 아이디얼들 가운데, 소 아이디얼인 것은 ${\displaystyle d}$가 소수인 경우이다. 즉, ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 소 아이디얼은 ${\displaystyle n}$의 소인수들의 주 아이디얼들이다. ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$에서 극대 아이디얼의 개념과 소 아이디얼의 개념은 서로 일치한다. 즉, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이며, 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

따라서, ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 크룰 차원은 다음과 같다.

${\displaystyle \dim \mathbb {Z} /(n)={\begin{cases}1&n=0\\-\infty &n=1\\0&n\neq 0,1\end{cases}}}$

이는 대수기하학적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. ${\displaystyle n}$의 소인수 분해가

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}}$

라면, 중국인의 나머지 정리에 따라서 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\cong \prod _{i=1}^{k}\mathbb {Z} /(p_{i}^{n_{i}})}$ 이다. 이는 가환환의 범주에서의 곱이므로, 아핀 스킴의 범주에서의 쌍대곱이 된다. 즉,

${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} /(n)=\bigsqcup _{i=1}^{k}\operatorname {Spec} \mathbb {Z} /(p_{i}^{n_{i}})}$

가 된다. 각 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p_{i}^{n_{i}})}$는 하나의 소 아이디얼 ${\displaystyle (p_{i})}$을 갖는 국소환이며, 따라서 위상 공간으로서는 한원소 집합이다. 즉, 아핀 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} /(n)}$은 위상 공간으로서 ${\displaystyle n}$의 각 소인수에 대응하는 ${\displaystyle k}$개의 점들로 구성된 공간이다.

(만약 ${\displaystyle n=0}$일 경우, 이는 정수환의 스펙트럼이므로, 1차원이다. ${\displaystyle n=1}$일 경우, 자명환의 스펙트럼은 공집합이다.)

14와 20 그리고 −4는 법 6에 대하여 합동이다. 이를 식으로 나타내면

${\displaystyle 14\equiv 20\equiv -4{\pmod {6}}}$

이다.

• 중국인의 나머지 정리

• “Congruence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Congruence equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Two-term congruence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Congruence modulo a prime number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Congruence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Congruence equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.