하이네-칸토어 정리

모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 임의의 측근 ${\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \forall x,y\in X\colon x\approx _{\delta }y\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(y)}$

가 성립하는 측근 ${\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}_{X}}$를 찾으면 족하다.

우선,

${\displaystyle \forall x,y,z\in Y\colon x\approx _{\hat {\epsilon }}y\approx _{\hat {\epsilon }}z\implies x\approx _{\epsilon }z}$

인 대칭 측근 ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}\in {\mathcal {E}}_{Y}}$를 찾자.

${\displaystyle f}$가 연속 함수이므로, 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 ${\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {E}}_{X}}$들이 존재한다.

${\displaystyle \forall x,y\in X\colon x\approx _{\delta _{x}}y\implies f(x)\approx _{\hat {\epsilon }}f(y)}$

이제

${\displaystyle \forall x,y,z,w\in X\colon y\approx _{{\hat {\delta }}_{x}}z\approx _{{\hat {\delta }}_{x}}w\implies y\approx _{\delta _{x}}w}$

인 측근 ${\displaystyle {\hat {\delta }}_{x}\in {\mathcal {E}}_{X}}$들을 고르자. 이제,

${\displaystyle \left\{\{y\in X\colon x\approx _{{\hat {\delta }}_{x}}y\}\colon x\in X\right\}}$

는 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개

${\displaystyle \left\{\{y\in X\colon x\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}y\}\colon {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}\right\}}$

${\displaystyle {\tilde {X}}\subseteq X}$

${\displaystyle |{\tilde {X}}|<\aleph _{0}}$

가 존재한다. 이제,

${\displaystyle \forall y,z\in X\colon y\approx _{\delta }z\implies \forall {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}\colon y\approx _{\delta _{\tilde {x}}}z}$

인 측근 ${\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}_{X}}$를 고르자.

이제, 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여 ${\displaystyle x\approx _{\delta }y}$이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}x\approx _{\delta }y}$

인 ${\displaystyle {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}}$가 존재한다. 따라서

${\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}x\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}y}$

이므로

${\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{\delta _{\tilde {x}}}x}$

${\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{\delta _{\tilde {x}}}y}$

이며, 따라서

${\displaystyle f(x)\approx _{\hat {\epsilon }}f({\tilde {x}})\approx _{\hat {\epsilon }}f(y)}$

이며, 따라서

${\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(y)}$

이다.