미적분학 에서 아벨-디니-프링스하임 판정법 (영어 : Abel–Dini–Pringsheim test ) 혹은 아벨-디니-프링스하임 정리 (영어 : Abel–Dini–Pringsheim theorem )는 임의의 양의 실수 항 발산급수 로부터 더 느리게 발산하는 발산급수를 구성하는 수렴 판정법 이다.[ 1] :§IX.39 실수 항 수렴급수 로부터 더 느리게 수렴하는 수렴급수를 만들 수 있다. 이에 따라, 특정 급수에 기반한 수렴 판정법 은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다.
발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법 에 따르면, 임의의 양의 실수 의 수열 ( a n ) n = 0 ∞ ⊂ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset (0,\infty )}
∑ n = 0 ∞ a n = ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\infty } 라면 , 다음 명제들이 성립한다 ( S n = a 0 + a 1 + ⋯ + a n {\displaystyle S_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}
(A) ∑ n = 0 ∞ a n S n = ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}}}=\infty } (B) 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ∑ n = 1 ∞ a n S n S n − 1 ϵ < ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}S_{n-1}^{\epsilon }}}<\infty } (C) 만약 추가로 lim n → ∞ a n S n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}}}=0} lim n → ∞ a 0 / S 0 + a 1 / S 1 + ⋯ + a n / S n ln S n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/S_{0}+a_{1}/S_{1}+\cdots +a_{n}/S_{n}}{\ln S_{n}}}=1} 이에 따라, 급수
∑ n = 0 ∞ a n S n t {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}^{t}}}} 는 t > 1 {\displaystyle t>1} t ≤ 1 {\displaystyle t\leq 1}
가정에 따라, S n {\displaystyle S_{n}} 증가수열 이며 무한대로 발산한다. 따라서, 임의의 n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}
S n S n + k n < 1 2 {\displaystyle {\frac {S_{n}}{S_{n+k_{n}}}}<{\frac {1}{2}}} 인 k n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle k_{n}\in \{0,1,2,\dots \}}
a n S n + ⋯ + a n + k n S n + k n ≥ a n + ⋯ + a n + k n S n + k n = S n + k n − S n + k n S n = 1 − S n S n + k n > 1 2 {\displaystyle {\frac {a_{n}}{S_{n}}}+\cdots +{\frac {a_{n+k_{n}}}{S_{n+k_{n}}}}\geq {\frac {a_{n}+\cdots +a_{n+k_{n}}}{S_{n+k_{n}}}}={\frac {S_{n+k_{n}}-S_{n+k_{n}}}{S_{n}}}=1-{\frac {S_{n}}{S_{n+k_{n}}}}>{\frac {1}{2}}} 이다. 즉, a 0 / S 0 + ⋯ + a n / S n {\displaystyle a_{0}/S_{0}+\cdots +a_{n}/S_{n}} 코시 수열 이 아니다. 즉, 급수
∑ n = 0 ∞ a n S n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}}}} 는 발산한다.
만약 0 < ϵ ≤ ϵ ′ {\displaystyle 0<\epsilon \leq \epsilon '} n {\displaystyle n} S n ≥ 1 {\displaystyle S_{n}\geq 1} a n / ( S n S n − 1 ϵ ) ≥ a n / ( S n S n − 1 ϵ ′ ) {\displaystyle a_{n}/(S_{n}S_{n-1}^{\epsilon })\geq a_{n}/(S_{n}S_{n-1}^{\epsilon '})} 0 < ϵ ≤ 1 {\displaystyle 0<\epsilon \leq 1} x ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle x\in (0,\infty )}
ϵ ( 1 − x ) ≤ 1 − x ϵ {\displaystyle \epsilon (1-x)\leq 1-x^{\epsilon }} 이는
f ( x ) = ϵ ( 1 − x ) − 1 + x ϵ {\displaystyle f(x)=\epsilon (1-x)-1+x^{\epsilon }} 라고 하였을 때
f ( 1 ) = 0 {\displaystyle f(1)=0} f ′ ( x ) = ϵ ( x ϵ − 1 − 1 ) ≥ 0 ( ∀ x ∈ ( 0 , 1 ] ) {\displaystyle f'(x)=\epsilon (x^{\epsilon -1}-1)\geq 0\qquad (\forall x\in (0,1])} f ′ ( x ) = ϵ ( x ϵ − 1 − 1 ) ≤ 0 ( ∀ x ∈ [ 1 , ∞ ) ) {\displaystyle f'(x)=\epsilon (x^{\epsilon -1}-1)\leq 0\qquad (\forall x\in [1,\infty ))} 이기 때문이다. 따라서, 다음이 성립한다.
∑ n = 1 ∞ a n S n S n − 1 ϵ = ∑ n = 1 ∞ S n − S n − 1 S n S n − 1 ϵ = ∑ n = 1 ∞ 1 S n − 1 ϵ ( 1 − S n − 1 S n ) ≤ ∑ n = 1 ∞ 1 ϵ S n − 1 ϵ ( 1 − ( S n − 1 S n ) ϵ ) = ∑ n = 1 ∞ 1 ϵ ( 1 S n − 1 ϵ − 1 S n ϵ ) = 1 ϵ S 0 ϵ < ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}S_{n-1}^{\epsilon }}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {S_{n}-S_{n-1}}{S_{n}S_{n-1}^{\epsilon }}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{S_{n-1}^{\epsilon }}}\left(1-{\frac {S_{n-1}}{S_{n}}}\right)\\&\leq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\epsilon S_{n-1}^{\epsilon }}}\left(1-\left({\frac {S_{n-1}}{S_{n}}}\right)^{\epsilon }\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\epsilon }}\left({\frac {1}{S_{n-1}^{\epsilon }}}-{\frac {1}{S_{n}^{\epsilon }}}\right)\\&={\frac {1}{\epsilon S_{0}^{\epsilon }}}\\&<\infty \end{aligned}}} ln S n {\displaystyle \ln S_{n}} 슈톨츠-체사로 정리 에 따라, 다음이 성립한다.
lim n → ∞ a 0 / S 0 + a 1 / S 1 + ⋯ + a n / S n ln S n = lim n → ∞ a 0 / S 0 + a 1 / S 1 + ⋯ + a n / S n ln S 0 + ln ( S 1 / S 0 ) + ⋯ + ln ( S n / S n − 1 ) = lim n → ∞ a n / S n ln ( S n / S n − 1 ) = lim n → ∞ a n / S n ln ( S n / ( S n − a n ) ) = lim n → ∞ a n / S n ln ( 1 / ( 1 − a n / S n ) ) = lim n → ∞ ( − a n / S n ln ( 1 − a n / S n ) ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/S_{0}+a_{1}/S_{1}+\cdots +a_{n}/S_{n}}{\ln S_{n}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/S_{0}+a_{1}/S_{1}+\cdots +a_{n}/S_{n}}{\ln S_{0}+\ln(S_{1}/S_{0})+\cdots +\ln(S_{n}/S_{n-1})}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(S_{n}/S_{n-1})}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(S_{n}/(S_{n}-a_{n}))}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(1/(1-a_{n}/S_{n}))}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(1-a_{n}/S_{n})}}\right)\\&=1\end{aligned}}} 마지막은 a n / S n {\displaystyle a_{n}/S_{n}}
lim t → 0 t ln ( 1 − t ) = − 1 {\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {t}{\ln(1-t)}}=-1} 에 의한다. (이 극한은 로그 항등식을 사용하여
lim t → 0 t ln ( 1 − t ) = lim t → 0 1 ln ( 1 − t ) 1 / t = 1 ln ( 1 / e ) = − 1 {\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {t}{\ln(1-t)}}=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{\ln(1-t)^{1/t}}}={\frac {1}{\ln \mathrm {(} 1/\mathrm {e} )}}=-1} 와 같이 구하거나, 테일러 급수 전개
ln ( 1 − t ) = − t − t 2 2 − t 3 3 − ⋯ ( | t | < 1 ) {\displaystyle \ln(1-t)=-t-{\frac {t^{2}}{2}}-{\frac {t^{3}}{3}}-\cdots \qquad (|t|<1)} 를 사용한다.)
수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법 에 따르면, 임의의 양의 실수 의 수열 ( a n ) n = 0 ∞ ⊂ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset (0,\infty )}
∑ n = 0 ∞ a n < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}<\infty } 라면, 다음 명제들이 성립한다 ( r n = a n + a n + 1 + a n + 2 + ⋯ {\displaystyle r_{n}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots }
(A’) ∑ n = 0 ∞ a n r n = ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}}}=\infty } (B’) 임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ∑ n = 0 ∞ a n r n 1 − ϵ < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}^{1-\epsilon }}}<\infty } (C’) 만약 추가로 lim n → ∞ a n r n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}}}=0} lim n → ∞ a 0 / r 0 + a 1 / r 1 + ⋯ + a n / r n ln r n = − 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/r_{0}+a_{1}/r_{1}+\cdots +a_{n}/r_{n}}{\ln r_{n}}}=-1} 특히, 급수
∑ n = 0 ∞ a n r n t {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}^{t}}}} 는 t < 1 {\displaystyle t<1} t ≥ 1 {\displaystyle t\geq 1}
가정에 따라, r n {\displaystyle r_{n}} 감소수열 이다. 따라서, 임의의 n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}
r n + k n + 1 r n < 1 2 {\displaystyle {\frac {r_{n+k_{n}+1}}{r_{n}}}<{\frac {1}{2}}} 인 k n ∈ { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle k_{n}\in \{0,1,2,\dots \}}
a n r n + ⋯ + a n + k n r n + k n ≥ a n + ⋯ + a n + k n r n = r n − r n + k n + 1 r n = 1 − r n + k n + 1 r n > 1 2 {\displaystyle {\frac {a_{n}}{r_{n}}}+\cdots +{\frac {a_{n+k_{n}}}{r_{n+k_{n}}}}\geq {\frac {a_{n}+\cdots +a_{n+k_{n}}}{r_{n}}}={\frac {r_{n}-r_{n+k_{n}+1}}{r_{n}}}=1-{\frac {r_{n+k_{n}+1}}{r_{n}}}>{\frac {1}{2}}} 이다. 즉, 급수
∑ n = 0 ∞ a n r n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}}}} 의 부분합은 코시 수열 이 아니다. 즉, 이 급수는 발산한다.
(C)에
S n = 1 r n {\displaystyle S_{n}={\frac {1}{r_{n}}}} 를 대입한다.
발산급수·수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법은 서로 동치 다. 구체적으로, 발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에
S n ′ = 1 r n {\displaystyle S_{n}'={\frac {1}{r_{n}}}} 을 대입하면 수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법을 얻는다.[ 2]
급수
∑ n = 0 ∞ 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }1} 는 발산하며, 그 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
∑ n = 0 ∞ 1 n t {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{t}}}} 는 t > 1 {\displaystyle t>1} t ≤ 1 {\displaystyle t\leq 1} 1 / n {\displaystyle 1/n}
lim n → ∞ 1 + 1 / 2 + ⋯ + 1 / n ln n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1+1/2+\cdots +1/n}{\ln n}}=1} 이 성립한다.
이렇게 찾은 발산급수
∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} 에 대하여 다시 아벨-디니-프링스하임 판정법을 적용하자. 이 급수의 부분합 대신 이와 점근적으로 같은 수열 ln n {\displaystyle \ln n}
∑ n = 1 ∞ 1 n ln t n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\ln ^{t}n}}} 는 t > 1 {\displaystyle t>1} t ≤ 1 {\displaystyle t\leq 1} 1 / ( n ln n ) {\displaystyle 1/(n\ln n)}
lim n → ∞ 1 + 1 / ( 2 ln 2 ) + ⋯ + 1 / ( n ln n ) ln ln n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1+1/(2\ln 2)+\cdots +1/(n\ln n)}{\ln \ln n}}=1} 이다.
노르웨이 의 수학자 닐스 헨리크 아벨 은 (A)의 약한 형태를 증명하였다.[ 3] 이탈리아 의 수학자 울리세 디니(이탈리아어 : Ulisse Dini )이 (A)의 완전한 형태와 (B)의 약한 형태를 보였다.[ 4] 독일어 : Alfred Pringsheim )이 증명하였다.[ 5] 이탈리아어 : Ernesto Cesàro )의 결과다.[ 6]
![{\displaystyle f'(x)=\epsilon (x^{\epsilon -1}-1)\geq 0\qquad (\forall x\in (0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f50b494962837929eda755819a9605f159860c8)
