클리퍼드 대수

환론에서 클리퍼드 대수(Clifford代數, 영어: Clifford algebra)는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다.^[1][2] 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.

클리퍼드 대수의 개념은 다양하게 정의될 수 있다.

• 추상적으로 어떤 보편 성질을 통해 정의될 수 있다.
• 구체적으로 텐서 대수의 몫대수로 정의될 수 있다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q\colon V\to K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q)}$는 다음 공리를 만족시키는, ${\displaystyle V}$를 포함하는 가장 일반적인 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수다.

${\displaystyle v^{2}=Q(v)\qquad \forall v\in V}$

즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {uAssocAlg} _{K}}$에서, ${\displaystyle j(v)^{2}=Q(v)1_{A}\forall v\in V}$를 만족시키는 임의의 대수 ${\displaystyle (A,j\colon V\to A)}$가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 ${\displaystyle f\colon \operatorname {Cliff} (V,Q)\to A}$가 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}V&{\overset {i}{\to }}&\operatorname {Cliff} (V,Q)\\&{\scriptstyle j}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !f\\&&A\end{matrix}}}$

여기서 ${\displaystyle i\colon V\to \operatorname {Cliff} (V,Q)}$는 보통 생략한다.

이는 이차 공간(이차 형식을 갖춘 가군)의 범주 ${\displaystyle \operatorname {QMod} _{K}}$에서 단위 결합 대수의 범주로 가는 함자를 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {Cliff} \colon \operatorname {QMod} _{K}\to \operatorname {uAssocAlg} _{K}}$

(${\displaystyle \operatorname {QMod} _{K}}$의 사상은 가군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$ 가운데 ${\displaystyle Q_{M}=\phi \circ Q_{N}}$인 것이다.)

클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\operatorname {T} (V;K)/{\mathfrak {i}}(Q)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {T} (V;K)}$는 ${\displaystyle V}$에 대한 ${\displaystyle K}$-텐서 대수

${\displaystyle \operatorname {T} (V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus V\otimes _{K}V\otimes _{K}V+\cdots }$

이며,

${\displaystyle {\mathfrak {i}}(Q)=(v\otimes v-Q(v))_{v\in V}=\left\{w\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\otimes v_{i}-Q(v_{i})\right)w'\colon w,w'\in \operatorname {T} _{K}(V),\;n\in \mathbb {N} ,\;v_{1},\dots ,v_{n}\in V\right\}}$

는 ${\displaystyle \{v\otimes v-Q(v)\colon v\in V\}}$에 의하여 생성되는 양쪽 아이디얼이다.

이 경우

${\displaystyle uv+vu=(u+v)^{2}-u^{2}-v^{2}=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}$

이므로, 두 벡터 원소의 반교환자는 ${\displaystyle Q}$의 연관 쌍선형 형식과 같다.

텐서 대수 ${\displaystyle \operatorname {T} (V;K)}$는 자연스러운 자연수 등급을 갖는다.

${\displaystyle \operatorname {T} (V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {T} ^{n}(V;K)}$

클리퍼드 대수는 텐서 대수의 몫인데, 이 경우 몫을 취하는 아이디얼(로 정의되는 동치 관계)은 일반적으로 자연수 등급을 보존하지 않는다. 다만, 이 아이디얼은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 등급을 보존한다. 즉,

${\displaystyle \operatorname {T} ^{+}(V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {T} ^{2n}(V;K)}$

${\displaystyle \operatorname {T} ^{-}(V;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {T} ^{2n+1}(V;K)}$

을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 구조를 보존하며, 따라서 클리퍼드 대수는 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 대수를 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V;K)={\frac {\operatorname {T} ^{+}(V;K)}{{\mathfrak {i}}(Q)}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{-}(V;K)={\frac {\operatorname {T} ^{-}(V;K)}{{\mathfrak {i}}(Q)}}}$

특히, 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$에서, 짝수 등급 부분 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)}$ 역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약

${\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}\{a\}\oplus U}$

${\displaystyle Q(ta+u)=t^{2}Q(a)+Q|_{U}(u)\qquad \forall t\in K,\;u\in U}$

${\displaystyle Q(a)\neq 0}$

라면,

${\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\cong \operatorname {Cliff} (U,-Q(a)Q|_{U};K)}$

이다.

비록 텐서 대수의 자연수 등급은 등급으로서 살아남지 못하지만, 이는 클리퍼드 대수 위의 자연수 오름 여과를 정의한다. 구체적으로, 텐서 대수 ${\displaystyle \operatorname {T} (V;K)}$의 등급으로 정의되는 오름 여과

${\displaystyle F^{n}\operatorname {T} (V;K)=\bigoplus _{m\leq n}\operatorname {T} ^{m}(V;K)=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus \cdots V^{\otimes _{K}n}}$

를 생각하자. 그렇다면,

${\displaystyle K=F^{0}\operatorname {T} (V;K)\subseteq F^{1}\operatorname {T} (V;K)\subseteq F^{2}\operatorname {T} (V;K)\subseteq \cdots }$

이다. 클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}(Q)}$은 이 여과와 호환된다. 구체적으로, ${\displaystyle (F^{n}\operatorname {T} (V;K)\cap {\mathfrak {i}}(Q))/\operatorname {F} ^{n+1}\operatorname {T} (V;K)}$는 ${\displaystyle F^{n}\operatorname {T} (V;K)/F^{n+1}\operatorname {T} (V;K)}$의 아이디얼을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$ 위에도 여과

${\displaystyle F^{n}\operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\bigoplus _{m\leq n}\operatorname {T} ^{m}(V;K)/{\mathfrak {i}}(Q)}$

가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다.

이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다.

${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\frac {F^{n}\operatorname {Cliff} (V,Q;K)}{F^{n-1}\operatorname {Cliff} (V,Q;K)}}\cong \Lambda (V;K)}$

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$ 위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

${\displaystyle \alpha \colon v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\mapsto (-)^{k}v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\qquad (\forall v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}\in V)}$

(만약 가환환 ${\displaystyle K}$의 표수가 2라면 이는 항등 함수이다.) ${\displaystyle \alpha ^{2}}$는 항등 함수이므로 이는 대합을 이룬다.

마찬가지로, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$ 위에 다음과 같은 반자기 동형(영어: anti-automorphism)이 존재한다.

${\displaystyle (-)^{\top }\colon \operatorname {Cliff} (V,Q;K)\mapsto \operatorname {Cliff} (V,Q;K)^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle (-)^{\top }\colon v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\mapsto v_{k}\cdots v_{2}v_{1}\qquad (\forall v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}\in V)}$

(여기서 ${\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }}$는 반대환을 뜻한다.) ${\displaystyle \alpha }$와 ${\displaystyle (-)^{\top }}$는 서로 가환하며, 이 둘을 합성하면 다음과 같은 클리퍼드 수반(영어: Clifford conjugation)을 얻는다.

${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\top })=(\alpha (x))^{\top }}$

${\displaystyle x\mapsto x^{\top }}$와 ${\displaystyle x\mapsto {\bar {x}}}$ 역시 대합을 이룬다.

이 연산들은 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 등급이 ${\displaystyle k}$인 원소 ${\displaystyle x}$에 대하여 다음과 같다.

${\displaystyle \alpha (x)=(-)^{k}x}$

${\displaystyle x^{\top }=(-)^{k(k-1)/2}x}$

${\displaystyle {\bar {x}}=(-)^{k(k+1)/2}x}$

즉, 이는 ${\displaystyle k{\bmod {4}}}$에 대하여 다음과 같이 의존한다.

연산	${\displaystyle k\equiv 0{\pmod {4}}}$	${\displaystyle k\equiv 1{\pmod {4}}}$	${\displaystyle k\equiv 2{\pmod {4}}}$	${\displaystyle k\equiv 3{\pmod {4}}}$
${\displaystyle \alpha (x)}$	${\displaystyle +x}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle +x}$	${\displaystyle -x}$
${\displaystyle x^{\top }}$	${\displaystyle +x}$	${\displaystyle +x}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle -x}$
${\displaystyle {\bar {x}}}$	${\displaystyle +x}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle +x}$

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$ 위에 다음과 같은 쌍선형 형식 및 이차 형식을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle x^{\top }y\rangle }$

${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\langle x^{\top }x\rangle }$

여기서 ${\displaystyle \langle -\rangle }$은 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다.

이는 다음 성질을 만족시킨다.

${\displaystyle \langle x,ay\rangle =\langle a^{\top }x,y\rangle }$

만약 ${\displaystyle Q}$가

${\displaystyle V=U\oplus W}$

${\displaystyle Q(u+w)=Q(u)\qquad \forall u\in U,w\in W}$

라면 (즉, ${\displaystyle Q|_{W}=0}$라면),

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)\cong \Lambda (W;K){\hat {\otimes }}_{K}\operatorname {Cliff} (U,Q;K)}$

가 된다. 따라서, 만약 ${\displaystyle V}$가 반단순 가군이라면 ${\displaystyle V\cong (\operatorname {rad} Q)\oplus V/(\operatorname {rad} Q)}$이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, ${\displaystyle V}$가 반단순 가군일 때 클리퍼드 대수의 분해는 ${\displaystyle Q}$가 비특이 이차 형식인 경우로 귀결된다. 특히, ${\displaystyle K}$가 체(또는 유한 개의 체들의 직접곱)라면, 모든 가군은 반단순 가군이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다.

${\displaystyle K}$가 체이며, ${\displaystyle V}$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 ${\displaystyle n}$이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 ${\displaystyle 2^{n}}$차원 벡터 공간이다. ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$이 ${\displaystyle V}$의 기저라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$의 기저는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\dotsb e_{i_{k}}|1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n\}}$

체 ${\displaystyle K}$ 위의 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 ${\displaystyle K}$-가군으로서 외대수 ${\displaystyle \Lambda _{K}(V)}$와 동형이다. 만약 ${\displaystyle Q=0}$일 경우 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,0;K)}$는 외대수 ${\displaystyle \Lambda (V;K)}$와 대수로서 동형이지만, ${\displaystyle Q\neq 0}$일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 생성 사영 가군 ${\displaystyle M}$ 위의 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle Q}$의 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (M,Q;K)}$는 등급 아즈마야 대수(영어: graded Azumaya algebra)이다.^{[3]:152, Corollary 3.7.4} 또한, 만약 모든 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K}$에 대하여 ${\displaystyle M\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}}$가 짝수 계수 ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$-자유 가군이라면, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (M,Q;K)}$는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K}$에 대하여 ${\displaystyle M\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}}$가 홀수 계수 ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$-자유 가군이라면, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (M,Q;K)}$는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. (여기서 ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$는 국소화이다.)

특히, 만약 ${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 체라면, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 등급 중심 단순 대수(영어: graded central simple algebra)이다.^{[4]:109, Theorem 2.1}

• 만약 ${\displaystyle V}$가 짝수 차원이라면 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} (V,Q;K))=K}$이며, ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 구조를 잊으면 중심 단순 대수를 이룬다.
• 만약 ${\displaystyle V}$가 짝수 차원이라면 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 구조를 잊으면 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 중심 단순 대수가 아니지만, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)}$는 중심 단순 대수를 이룬다.

표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}}$ 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

${\displaystyle Q(a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n})=c_{1}a_{1}^{2}+c_{2}a_{2}^{2}+\cdots +c_{n}a_{n}^{2}\qquad (a_{1},\dots ,a_{n},c_{1},\dots ,c_{n}\in K)}$

이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 (유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이므로) 항상 아르틴 환이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[5]:210, Supplementary Exercise 35(a)}

• ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 반단순환이다. 즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱이다.
• 모든 ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$에 대하여 ${\displaystyle c_{i}\neq 0}$이다.

또한, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 2개 이하의 단순환의 직접곱이다.^{[5]:211, Supplementary Exercise 35(b)}

표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle V=\operatorname {Span} _{K}\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}}$ 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

${\displaystyle Q(a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n})=c_{1}a_{1}^{2}+c_{2}a_{2}^{2}+\cdots +c_{n}a_{n}^{2}\qquad (a_{1},\dots ,a_{n},c_{1},\dots ,c_{n}\in K)}$

이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$의 중심은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Z} \left(\operatorname {Cliff} (V,Q;K)\right)={\begin{cases}K&2\mid n\\K+Ke_{1}e_{2}\cdots e_{n}&2\nmid n\end{cases}}}$

가환환 ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle {\tilde {K}}}$과 환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon K\to {\tilde {K}}}$ 및 ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle M}$ 및 그 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle (M,Q)}$의 스칼라 확대 ${\displaystyle (M\otimes _{K}{\tilde {K}},Q\otimes _{K}1)}$의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 ${\displaystyle {\tilde {K}}}$-대수이다.^{[6]:195, Proposition IV.1.2.3}

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (M\otimes _{K}{\tilde {K}},Q\otimes _{K}1)\cong \operatorname {Cliff} (M,Q)\otimes _{K}{\tilde {K}}}$

클리퍼드 대수의 특정 가역원들은 클리퍼드 군이라는 군을 이룬다. 핀 군과 스핀 군은 클리퍼드 군의 부분군을 이룬다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 및 임의의 두 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A'}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle B=A\otimes _{A}'}$

위에 다음과 같은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$등급 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수의 구조를 부여할 수 있다.

${\displaystyle B_{0}=A_{0}\otimes _{K}A'_{0}\oplus A_{1}\otimes _{K}A'_{1}}$

${\displaystyle B_{1}=A_{0}\otimes _{K}A'_{1}\oplus A_{1}\otimes _{K}A'_{0}}$

${\displaystyle (a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=(-)^{\deg a'\deg b'}(ab)\otimes _{K}(a'b')\qquad (a,b\in A,\;a',b'\in A')}$

여기서 ${\displaystyle A_{0}}$ 및 ${\displaystyle A_{1}}$은 등급이 0 및 1인 성분들의 부분 집합이다. 이 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$등급 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수를 ${\displaystyle A{\hat {\otimes }}_{K}A'}$으로 표기하자.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 두 이차 공간 ${\displaystyle (V,Q)}$, ${\displaystyle (V',Q')}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 직합 ${\displaystyle (V\oplus V',Q\oplus Q')}$ 위의 클리퍼드 대수는 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.^{[6]:195, Theorem IV.1.3.1}

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V\oplus V',Q\oplus Q';K)\cong \operatorname {Cliff} (V,Q;K){\hat {\otimes }}_{K}\operatorname {Cliff} (V',Q';K)}$

따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.

표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n}$차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle Q}$로 정의되는 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 등급 중심 단순 대수(영어: graded central simple algebra)이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.^{[4]:111, §V.2}

• ${\displaystyle n}$이 짝수일 때: ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 중심 단순 대수이다.
  • ${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K))\cong K({\sqrt {a}})}$ (${\displaystyle a\in K^{\times }/(K^{\times })^{2})}$)의 꼴이라면, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)}$는 ${\displaystyle K({\sqrt {a}})}$ 위의 중심 단순 대수이다.
  • ${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K))\cong K\times K}$의 꼴이라면, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\cong A^{2}}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 어떤 중심 단순 대수 ${\displaystyle A}$의 제곱과 동형이다.
• ${\displaystyle n}$이 홀수일 때: ${\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 중심 단순 대수이다.
  • ${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} (V,Q;K))\cong K({\sqrt {a}})}$ (${\displaystyle a\in K^{\times }/(K^{\times })^{2})}$)의 꼴이라면, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 확대체 ${\displaystyle K({\sqrt {a}})}$ 위의 중심 단순 대수이다.
  • ${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Cliff} (V,Q;K))\cong K\times K}$의 꼴이라면, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)\cong A^{2}}$은 ${\displaystyle K}$ 위의 어떤 중심 단순 대수 ${\displaystyle A}$의 제곱과 동형이다.

아르틴-웨더번 정리에 의하여, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle 2^{n}}$차원 중심 단순 대수는 어떤 ${\displaystyle K}$-중심 단순 대수인 ${\displaystyle 2^{k}}$차원 나눗셈환 ${\displaystyle D}$ 위의 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n-k};D)}$과 동형이다.

${\displaystyle K=\mathbb {C} }$가 복소수체이며, ${\displaystyle (V,Q)}$가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 ${\displaystyle n=\dim _{\mathbb {C} }V}$만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (n;\mathbb {C} )}$로 쓰면, 이는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$-단위 결합 대수로서 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (n;\mathbb {C} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Mat} (2^{n/2};\mathbb {C} )&2\mid n\\\operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {C} )&2\nmid n\end{cases}}}$

즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (n+2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }\operatorname {Cliff} (n;\mathbb {C} )}$

특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (0;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (1;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} }$ (테사린, tessarine)

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )}$ (2×2 복소 행렬)

${\displaystyle K=\mathbb {R} }$가 실수체이며, ${\displaystyle V}$가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, ${\displaystyle Q}$가 부호수가 ${\displaystyle (p,q)}$인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )}$로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,0;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }$ (실수)

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,1;\mathbb {R} )\cong \mathbb {C} }$ (복소수)

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (1,0;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ (분할복소수)

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,2;\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} }$ (사원수)

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (2,0;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cliff} (1,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}$ (2×2 실수 행렬)

또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (p+2,q;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (q,p;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (p+1,q+1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q+2;\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (q,p;\mathbb {R} )}$

이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

즉, 실수 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )}$들은 다음과 같은 클리퍼드 시계(Clifford時計, 영어: Clifford clock)로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}_{\displaystyle {\mathsf {8}}}&&^{\displaystyle {\mathsf {1}}}&&_{\displaystyle {\mathsf {2}}}\\&_{\displaystyle \mathbb {R} }&^{\displaystyle \mathbb {R} ^{\oplus 2}}&_{\displaystyle \mathbb {R} }\\{\mathsf {7}}\quad &\mathbb {C} \quad &&\quad \mathbb {C} &\quad {\mathsf {3}}\\&^{\displaystyle \mathbb {H} }&_{\displaystyle \mathbb {H} ^{\oplus 2}}&^{\displaystyle \mathbb {H} }\\^{\displaystyle {\mathsf {6}}}&&_{\displaystyle {\mathsf {5}}}&&^{\displaystyle {\mathsf {4}}}\end{matrix}}}$

즉, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle p-q{\bmod {8}}}$이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )=2^{p+q}}$으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle n\equiv 3{\pmod {8}}}$일 때

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n}/(2\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {H} ))\oplus \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n}/(2\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {H} ))=\operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n-3})\oplus \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n-3})}$

이다.

홀수 표수의 유한체 ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}}$ 위의 ${\displaystyle n}$차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식

${\displaystyle Q=\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

이 주어졌다고 하자. 이 경우

${\displaystyle \delta =[(-1)^{n(n-1)/2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}]\in \mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}\cong \mathbb {Z} /2}$

을 정의하자. 이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

${\displaystyle \delta }$	${\displaystyle n}$	${\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{q}^{n},Q;\mathbb {F} _{q})}$	${\displaystyle \operatorname {Cliff} ^{+}(\mathbb {F} _{q}^{n},Q;\mathbb {F} _{q})}$	${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;\mathbb {F} _{q})}$
제곱수 (${\displaystyle Q}$가 플러스형)	짝수	${\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n/2};\mathbb {F} _{q})}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n/2-1};\mathbb {F} _{q})^{2}}$	${\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(n;\mathbb {F} _{q})}$
제곱수	홀수	${\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {F} _{q})^{2}}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {F} _{q})}$	${\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {F} _{q})}$
제곱수가 아님 (${\displaystyle Q}$가 마이너스형)	짝수	${\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n/2};\mathbb {F} _{q})}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{n/2-1};\mathbb {F} _{q^{2}})}$	${\displaystyle \operatorname {O} ^{-}(n;\mathbb {F} _{q})}$
제곱수가 아님	홀수	${\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {F} _{q^{2}})}$	${\displaystyle \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {F} _{q})}$	${\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {F} _{q})}$

홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.

표수 2에서는 등급 텐서곱 ${\displaystyle {\hat {\otimes }}}$이 일반 텐서곱 ${\displaystyle \otimes }$과 같다. 표수 2의 유한체 ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{2^{e}}}$ 위의 ${\displaystyle 2n}$차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle Q_{1}=\left(K^{2},(k_{1},k_{2})\mapsto k_{1}k_{2}\right)}$

${\displaystyle Q_{2}\left(K^{2},(k_{1},k_{2})\mapsto (k_{1}^{2}+k_{1}k_{2}+ak_{2}^{2})\right),\qquad a\in K\setminus \{b^{2}+b\colon b\in K\}}$

이 경우 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{2^{e}}^{2},Q_{1})}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{2^{n}}^{2},Q_{2})}$ 둘 다 ${\displaystyle K}$ 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, ${\displaystyle 2n}$차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle Q}$의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다.

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {F} _{2^{e}}^{2n},Q;\mathbb {F} _{2^{e}})\cong \operatorname {Mat} (2^{n};\mathbb {F} _{2^{e}})}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{2^{e}}}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$는 다음과 같이 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle Q_{\text{nondeg}}}$과 다음 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle Q=Q_{\text{nondeg}}\oplus {\begin{cases}\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,1)\\\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,0)\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cliff} (\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,0);\mathbb {F} _{2^{e}})}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0,1);\mathbb {F} _{2^{e}}}$ 둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수

${\displaystyle \operatorname {Cliff} \left(\operatorname {diag} (1);K\right)=K[x]/(x^{2}+1)}$

에서 ${\displaystyle y=x+1}$로 놓으면 ${\displaystyle y^{2}=0}$이므로 이는 단위 결합 대수로서 외대수 ${\displaystyle \Lambda (K)=K[y]/(y^{2})}$와 동형이다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$는 특수한 경우 다음과 같다.

• 만약 ${\displaystyle Q=0}$이라면 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,0;K)=\Lambda (V;K)}$는 외대수이다.
• 만약 ${\displaystyle V=0}$이 자명 가군이며, ${\displaystyle Q=0}$이 그 위의 유일한 이차 형식이라면, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,0;K)\cong K}$이다.

만약 ${\displaystyle V=K}$가 1차원 자유 가군이며, ${\displaystyle Q\colon k\mapsto ak^{2}}$라면, ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (K,Q;K)\cong K[x]/(x^{2}-a)}$이다. 따라서, 이 경우는 ${\displaystyle a=Q(1)}$의 동치류 ${\displaystyle [a]\in K/K^{2}}$에 의하여 분류된다.

만약 추가로 ${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체라면,

${\displaystyle K[x]/(x^{2}-a)\cong {\begin{cases}K\oplus K&a\neq 0\\\Lambda (K)&a=0\end{cases}}}$

이다. 구체적으로, ${\displaystyle a\neq 0}$일 경우

${\displaystyle y_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm x/{\sqrt {a}})}$

를 정의한다면,

${\displaystyle y_{\pm }^{2}=y_{\pm }}$

이므로 ${\displaystyle K[x]/(x^{2}-a)\cong Ky_{+}\oplus Ky_{-}}$가 된다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 사원수형 대수(영어: quaternion algebra, 프랑스어: algèbre de quaternions)라고 한다.

체 위의 사원수형 대수는 환으로서 항상 나눗셈환을 이루거나 또는 2×2 ${\displaystyle K}$ 위의 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)}$과 동형이다. 후자의 경우, 분할 사원수형 대수(영어: split quaternion algebra, 프랑스어: algèbre de quaternions déployée)라고 한다.

${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다.

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{K}}\right)=\operatorname {Cliff} \left(\operatorname {Span} _{K}\{i,j\},\operatorname {diag} (a,b);K\right)={\frac {K\langle i,j\rangle }{(i^{2}-a,j^{2}-b,ij+ji)}}\qquad (\deg i=\deg j=1)}$

보통 (사원수와 마찬가지로) ${\displaystyle ij=-ji=k}$로 표기한다.

${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle ({\tfrac {a,b}{K}})}$가 분할 사원수형 대수이다.
• 힐베르트 기호 ${\displaystyle (a,b)_{K}=1}$이다. 즉, ${\displaystyle z^{2}=ax^{2}+by^{2}}$의 해가 ${\displaystyle K}$에서 존재한다.

사원수의 환 ${\displaystyle \mathbb {H} }$는 실수체 위의 사원수형 대수 ${\displaystyle ({\tfrac {-1,-1}{K}})}$이다.

복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.^[7][8][9]

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 속의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 함수

${\displaystyle f\colon U\to \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 연산자

${\displaystyle D=\sum _{i=1}^{n}e_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$

를 생각할 수 있다 (${\displaystyle e_{i}}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 정규 직교 기저). 만약 ${\displaystyle f}$가

${\displaystyle 0={\overset {\rightarrow }{D}}f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(e_{i}f(x))}$

를 만족시킨다면, ${\displaystyle f}$를 왼쪽 정칙 함수(영어: left holomorphic/monogenic/regular function)라고 하며, 만약 ${\displaystyle f}$가

${\displaystyle 0=f{\overset {\leftarrow }{D}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f(x)e_{i})}$

를 만족시킨다면, ${\displaystyle f}$를 오른쪽 정칙 함수(영어: right holomorphic/monogenic/regular function)라고 한다.

디랙 연산자의 제곱은

${\displaystyle D^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}e_{i}e_{j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}=-\nabla ^{2}}$

이므로, ${\displaystyle iD}$는 라플라스 연산자 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$의 일종의 제곱근이다.

클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분 정리가 성립한다. 즉,

• 두 열린집합 ${\displaystyle V\subseteq \operatorname {cl} (V)\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$가 주어졌으며 (${\displaystyle \operatorname {cl} (V)}$는 위상수학적 폐포)
• ${\displaystyle V}$는 유계 집합이자 단일 연결 공간이며,
• 경계 ${\displaystyle \partial V}$가 조각별 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 미분 가능 다양체를 이루며,
• ${\displaystyle f,g\colon U\to \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 함수이며,
• ${\displaystyle f}$는 왼쪽 정칙 함수이며 ${\displaystyle g}$는 오른쪽 정칙 함수라고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle 0=\oint _{\partial V}g(x){\hat {n}}_{\partial V}(x)f(x)\;\mathrm {d} \!x^{n-1}}$

여기서

• ${\displaystyle {\hat {n}}_{\partial V}\colon \partial V\to \mathbb {R} ^{n}\subset \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )}$는 ${\displaystyle \partial V}$ 위의 바깥 방향 수직 단위 벡터이며,
• ${\displaystyle \mathrm {d} \!x^{n-1}}$는 ${\displaystyle \partial V}$ 위의 르베그 측도이다.

또한, 다음이 성립한다.

${\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})}}\oint _{\partial V}{\frac {(x-x_{0}){\hat {n}}_{\partial V}(x)f(x)}{\|x-x_{0}\|^{n}}}\;\mathrm {d} \!x^{n-1}}$

${\displaystyle g(x_{0})={\frac {1}{\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})}}\oint _{\partial V}{\frac {g(x){\hat {n}}_{\partial V}(x)(x-x_{0})}{\|x-x_{0}\|^{n}}}\;\mathrm {d} \!x^{n-1}}$

여기서

${\displaystyle \operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}}$

는 ${\displaystyle n-1}$차원 단위 초구의 넓이이다.

리만 구 ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$ 위의 등각 변환은 복소수 계수의 뫼비우스 변환

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\qquad (a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\;ad-bc\neq 0)}$

로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}={\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}}$ 위의 등각 변환은 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )}$ 계수의 뫼비우스 변환

${\displaystyle x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}\qquad \left(a,b,c,d\in \operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )\right)}$

으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬