복소평면 에서의 복소수 z 와 그 켤레복소수 — z 수학 에서 켤레 복소수 (-複素數, 영어 : complex conjugate ) 또는 공액 복소수 (共軶複素數) 또는 복소 켤레 또는 공액 켤레 는 복소수 의 허수부 에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 다시 말해, 편각 에 덧셈 역원 을 취하여 얻는 복소수이다. 복소평면 위에서, 서로 켤레인 두 복소수는 x 축에 의하여 대칭이다. 복소수 z {\displaystyle z} z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} z ∗ {\displaystyle z^{*}}
복소수의 켤레 복소수 는 다음과 같이 정의된다.
x + i y ¯ = x − i y x , y ∈ R {\displaystyle {\overline {x+iy}}=x-iy\qquad x,y\in \mathbb {R} } 극 형식 으로 쓰면 다음과 같다.
r e i θ ¯ = r e − i θ r , θ ∈ R , r ≥ 0 {\displaystyle {\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }\qquad r,\theta \in \mathbb {R} ,\;r\geq 0} 켤레 복소수의 기호 z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} 켤레 전치 의 기호 A ∗ {\displaystyle A^{*}} z ∗ {\displaystyle z^{*}} 물리학 에서 자주 쓰이며, 이 경우 켤레 전치의 기호에는 흔히 A † {\displaystyle A^{\dagger }}
켤레 복소수에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 임의의 복소수 z , w {\displaystyle z,w}
Re z = ( z + z ¯ ) / 2 {\displaystyle \operatorname {Re} z=(z+{\bar {z}})/2} Im z = ( z − z ¯ ) / ( 2 i ) {\displaystyle \operatorname {Im} z=(z-{\bar {z}})/(2i)} | z | = z z ¯ {\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}} arg z = ( 1 / ( 2 i ) ) ln z z ¯ z ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {arg} z=(1/(2i))\ln {\frac {z}{\bar {z}}}\qquad z\neq 0} (덧셈 군 자기 준동형 ) z + w ¯ = z ¯ + w ¯ {\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}} (덧셈 군 자기 준동형 ) z − w ¯ = z ¯ − w ¯ {\displaystyle {\overline {z-w}}={\bar {z}}-{\bar {w}}} (체 자기 동형 ) z w ¯ = z ¯ w ¯ {\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}} (체 자기 동형 ) ( z / w ) ¯ = z ¯ / w ¯ {\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}} ( C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } 자기 동형 ) z ¯ = z ⟺ z ∈ R {\displaystyle {\bar {z}}=z\iff z\in \mathbb {R} } (대합 ) z ¯ ¯ = z {\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z} (노름 자기 동형 ) | z ¯ | = | z | {\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|} arg z ¯ = − arg z {\displaystyle \operatorname {arg} {\bar {z}}=-\operatorname {arg} z} Re z ¯ = Re z {\displaystyle \operatorname {Re} {\bar {z}}=\operatorname {Re} z} Im z ¯ = − Im z {\displaystyle \operatorname {Im} {\bar {z}}=-\operatorname {Im} z} 정칙 함수 f {\displaystyle f} f ( R ) ⊆ R {\displaystyle f(\mathbb {R} )\subseteq \mathbb {R} } z {\displaystyle z} f ( z ) ¯ = f ( z ¯ ) {\displaystyle {\overline {f(z)}}=f({\bar {z}})} f ( x ) ∈ R [ x ] {\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} [x]} f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} f ( z ¯ ) = 0 {\displaystyle f({\bar {z}})=0} 켤레근 정리 (-根定理, 영어 : complex conjugate root theorem )라고 한다.
켤레 복소수 함수는 갈루아 군 Gal ( C / R ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}
행렬 A {\displaystyle A}
A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} 로 쓰며, 다음과 같이 정의할 수 있다.
( A ¯ ) i j = A i j ¯ {\displaystyle ({\bar {A}})_{ij}={\overline {A_{ij}}}} 또한, 켤레 전치 는 다음과 같이 정의된다.
A ∗ = ( A ¯ ) T = A T ¯ {\displaystyle A^{*}=({\bar {A}})^{\operatorname {T} }={\overline {A^{\operatorname {T} }}}} 즉, 다음과 같다.
( A ∗ ) i j = A j i ¯ {\displaystyle (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}} 
![{\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b5c6ca81eb76cae2526471f36e48c6e628139b)
