카츠-무디 대수

리 이론에서, 카츠-무디 대수(Кац-Moody代數, 영어: Kač–Moody algebra)는 복소수 리 대수의 일종이다. 단순 리 대수와 아핀 리 대수의 공통적인 일반화이다.

카츠-무디 대수 ${\displaystyle (A,{\mathfrak {h}},\{(\alpha _{i},\alpha _{i}^{\vee })\}_{i\in \{1,2,\dots ,n\}})}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )}$는 정수 성분의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬이며, 그 계수는 ${\displaystyle r}$이다. 이를 (일반화) 카르탕 행렬(一般化Cartan行列, 영어: (generalized) Cartan matrix)이라고 한다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$는 ${\displaystyle 2n-r}$차원 복소수 벡터 공간이다. 이를 카르탕 부분 대수(Cartan部分代數, 영어: Cartan subalgebra)라고 한다.
• ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$은 ${\displaystyle n}$개의 선형 독립 벡터이며, ${\displaystyle \alpha _{1}^{\vee },\dots ,\alpha _{n}^{\vee }\in {\mathfrak {h}}}$는 ${\displaystyle n}$개의 선형 독립 벡터이다. ${\displaystyle \alpha _{i}}$를 단순근(單純根, 영어: simple root), ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }}$를 단순쌍대근(單純雙對根, 영어: simple coroot)이라고 한다.

이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 ${\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}}$에 대하여, ${\displaystyle \alpha _{i}(\alpha _{j}^{\vee })=A_{ij}}$
• 모든 ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$에 대하여, ${\displaystyle A_{ii}=2}$
• 모든 ${\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle i\neq j}$라면 ${\displaystyle A_{ij}\leq 0}$
• 모든 ${\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle A_{ij}=0}$이라면 ${\displaystyle A_{ji}=0}$

이 경우, 카츠-무디 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ 및 생성원 ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$, ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다.

${\displaystyle [h,h']=0\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle [h,e_{i}]=\alpha _{i}(h)e_{i}\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;i\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle [h,f_{i}]=-\alpha _{i}(h)f_{i}\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;i\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle \overbrace {[e_{i},[e_{i},\cdots ,[e_{i},} ^{1-A_{ij}}e_{j}]\cdots ]]=\overbrace {[f_{i},[f_{i},\dots ,[f_{i},} ^{1-A_{ij}}f_{j}]\cdots ]]=0\qquad \forall i\neq j}$

여기서 ${\displaystyle (e_{i},f_{i})}$를 슈발레 생성원(영어: Chevalley generator)라고 한다.

만약 카츠-무디 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 카르탕 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, ${\displaystyle A=DS}$인 대각 행렬 ${\displaystyle D\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )}$와 대칭 행렬 ${\displaystyle S\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )}$가 존재한다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$를 대칭화 가능 카츠-무디 대수(영어: symmetrizable Kač–Moody algebra)라고 한다.

카츠-무디 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 계수(영어: rank) ${\displaystyle \operatorname {rank} {\mathfrak {g}}}$는 그 카르탕 행렬의 계수 ${\displaystyle r=\operatorname {rank} A}$와 같다.

카츠-무디 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 주어졌을 때, 만약 ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}\setminus \{0\}}$ 및 ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}}$에 대하여

${\displaystyle [h,x]=\lambda (h)x\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}}}$

라면, ${\displaystyle \lambda }$를 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 근(根, 영어: root)이라고 하고, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle \lambda }$의 근 벡터(根vector, 영어: root vector)라고 한다. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 모든 근들의 집합을 ${\displaystyle \Delta \subset {\mathfrak {h}}^{*}}$라고 하자.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 근 ${\displaystyle \lambda \in \Delta }$에 대응하는 근공간(영어: root space) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$은 ${\displaystyle \lambda }$에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon \forall h\in {\mathfrak {h}}\colon [h,x]=\lambda (h)x\}}$

이는 복소수 벡터 공간을 이룬다.

모든 카츠-무디 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 복소수 벡터 공간으로서 다음과 같은 직합으로 나타내어진다.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

또한, 모든 근 ${\displaystyle \lambda }$는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 이 경우 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 아니면 모두 음의 정수이다.

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}\qquad (z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {Z} ,\;\operatorname {sgn} z_{1}=\cdots =\operatorname {sgn} z_{n}\neq 0)}$

이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 양근(陽根, 영어: positive root), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 음근(陰根, 영어: negative root)이라고 한다.

모든 단순근 ${\displaystyle \alpha _{i}}$는 양근이며, ${\displaystyle -\alpha _{i}}$는 음근이다. 또한, ${\displaystyle e_{i}}$ 및 ${\displaystyle f_{i}}$는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다.

${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$

${\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}}$

카츠-무디 대수는 딘킨 도표(Дынкин圖表, 영어: Dynkin diagram)로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬 ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )}$에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다.

• 딘킨 도표의 꼭짓점은 ${\displaystyle n}$개가 있으며, ${\displaystyle 1,\dots ,n}$에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다.
• ${\displaystyle i\neq j}$일 때, 두 꼭짓점 ${\displaystyle i,j}$ 사이의 변의 수는 ${\displaystyle A_{ij}A_{ji}}$이다.
• 만약 ${\displaystyle A_{ij}\leq -2}$라면, ${\displaystyle i}$와 ${\displaystyle j}$ 사이의 변에 ${\displaystyle i}$로 향하는 화살표를 그린다.

카츠-무디 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 근 ${\displaystyle \alpha \in \Delta ({\mathfrak {g}})}$는 다음과 같이 두 종류로 분류된다.

• 만약 ${\displaystyle w(\alpha )}$가 단순근인 바일 군 원소 ${\displaystyle w\in W({\mathfrak {g}})}$가 존재한다면, ${\displaystyle \alpha }$를 실근(實根, 영어: real root)이라고 한다.
• 실근이 아닌 근을 허근(虛根, 영어: imaginary root)이라고 한다.

대칭화 가능 카츠-무디 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 카르탕 행렬 ${\displaystyle A}$는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱 ${\displaystyle A=DS}$로 나타낼 수 있다. 카츠-무디 대수는 ${\displaystyle S}$의 부호수에 따라서 다음과 같이 분류된다.

• 만약 ${\displaystyle S}$가 양의 정부호일 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 (유한 차원) 단순 리 대수이다. 이 경우, ${\displaystyle r=n}$이다.
• 만약 ${\displaystyle S}$가 양의 준정부호이지만 양의 정부호가 아닐 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 아핀 리 대수이다. 이 경우, ${\displaystyle r=n-1}$이다.
• 만약 ${\displaystyle S}$가 부정부호일 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$는 부정부호 카츠-무디 대수(영어: indefinite Kač–Moody algebra)이다.
• 대각선 성분들이 양수이므로, ${\displaystyle S}$는 음의 정부호이거나 음의 준정부호일 수 없다.

이들 가운데, 단순 리 대수 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 또한, 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 쌍곡선형 카츠-무디 대수(영어: hyperbolic Kač–Moody algebra)라는 것은 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다.^[1] 그러나 단순 리 대수 · 아핀 리 대수 · 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다.

캐나다의 로버트 본 무디(영어: Robert Vaughan Moody)^[2][3] 가 토론토 대학교 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이와 독자적으로 소비에트 연방의 빅토르 카츠가 거의 동시에 이들을 발견하였다.^[4]

• 가공할 헛소리

• Kac, Victor G. (1990). 《Infinite dimensional Lie algebras》 (영어) 3판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511626234. ISBN 978-0-521-37215-2. MR 1104219. Zbl 0716.17022. 
• Wassermann, Antony. “Kac-Moody and Virasoro algebras” (영어). arXiv:1004.1287. 

• “Kac-Moody algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Kac-Moody algebra”. 《nLab》 (영어). 
• 이철희. “캐츠-무디 대수 (Kac-Moody algebra)”. 《수학노트》.