수학 에서 역삼각함수 (逆三角函數, 영어 : inverse trigonometric function )는 삼각 함수 의 역함수 이다. 삼각 함수 는 전단사 함수 (또는 일대일 대응 함수)가 아니기 때문에 이의 역함수를 정의하려면 정의역 을 제한하는 것이 필요하다.
아래는 역삼각함수들의 정의와 표기법, 정의역과 치역들을 나타낸 표이다.
이름 표기법 정의 정의역 치역 (라디안 ) 미분 아크사인 y = arcsin x {\displaystyle y=\arcsin x} y = sin − 1 x {\displaystyle y=\sin ^{-1}x} x = sin y {\displaystyle x=\sin y} − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} − π 2 ≤ y ≤ π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}} y ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle y\prime ={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}} 아크코사인 y = arccos x {\displaystyle y=\arccos x} y = cos − 1 x {\displaystyle y=\cos ^{-1}x} x = cos y {\displaystyle x=\cos y} − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} 0 ≤ y ≤ π {\displaystyle 0\leq y\leq \pi } y ′ = − 1 1 − x 2 {\displaystyle y\prime =-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}} 아크탄젠트 y = arctan x {\displaystyle y=\arctan x} y = tan − 1 x {\displaystyle y=\tan ^{-1}x} x = tan(y )모든 실수 − π 2 < y < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}} y ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle y\prime ={1 \over 1+x^{2}}} 아크코탄젠트 y = arccot x {\displaystyle y=\operatorname {arccot} x} y = cot − 1 x {\displaystyle y=\cot ^{-1}x} x = cot(y )모든 실수 0 < y < π {\displaystyle 0<y<\pi } y ′ = − 1 1 + x 2 {\displaystyle y\prime =-{1 \over 1+x^{2}}} 아크시컨트 y = arcsec x {\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x} y = sec − 1 x {\displaystyle y=\sec ^{-1}x} x = sec(y ) x ≤ − 1 {\displaystyle x\leq -1} x ≥ 1 {\displaystyle x\geq 1} 0 ≤ y < π 2 {\displaystyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}} π 2 < y ≤ π {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi } y ′ = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle y\prime ={1 \over \left\vert x\right\vert {\sqrt {x^{2}-1}}}} 아크코시컨트 y = arccsc x {\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x} y = csc − 1 x {\displaystyle y=\csc ^{-1}x} x = csc(y ) x ≤ − 1 {\displaystyle x\leq -1} x ≥ 1 {\displaystyle x\geq 1} − π 2 ≤ y < 0 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y<0} 0 < y ≤ π 2 {\displaystyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}} y ′ = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle y\prime =-{1 \over \left\vert x\right\vert {\sqrt {x^{2}-1}}}}
일부 저자는 아크시컨트의 치역이 ( 0 ≤ y < π / 2 {\displaystyle 0\leq y<\pi /2} π < y ≤ 3 π / 2 {\displaystyle \pi <y\leq 3\pi /2} tan ( arcsec ( x ) ) = x 2 − 1 {\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}} 0 ≤ y < π / 2 {\displaystyle 0\leq y<\pi /2} π / 2 < y ≤ π {\displaystyle \pi /2<y\leq \pi } tan ( arcsec ( x ) ) = ± x 2 − 1 {\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}} 0 ≤ y < π / 2 {\displaystyle 0\leq y<\pi /2} π / 2 < y ≤ π {\displaystyle \pi /2<y\leq \pi } − π < y ≤ − π / 2 {\displaystyle -\pi <y\leq -\pi /2} 0 < y ≤ π / 2 {\displaystyle 0<y\leq \pi /2}
정의역을 복소수 로 두게 되면 위에서 치역의 범위는 실수부 의 범위가 된다.
데카르트 좌표계 에서 아크탄젠트를 구하는 이변수 함수 인 atan2 {\displaystyle \operatorname {atan2} }
atan2 ( y , x ) = { arctan ( y x ) x > 0 arctan ( y x ) + π y ≥ 0 , x < 0 arctan ( y x ) − π y < 0 , x < 0 π 2 y > 0 , x = 0 − π 2 y < 0 , x = 0 undefined y = 0 , x = 0 {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}} 
