스펙트럼 정리

선형대수학과 함수해석학에서 스펙트럼 정리(spectrum定理, 영어: spectral theorem)는 선형작용소들을 그 고윳값 및 고윳값의 일반화인 스펙트럼으로 나타내는 일련의 정리들이다.

${\displaystyle A\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$이 ${\displaystyle n\times n}$ 에르미트 행렬(정규 행렬만 되어도 충분하다.)이라고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 ${\displaystyle A}$의 고유벡터들로 구성된, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$의 정규 직교 기저가 존재한다. 다시 말해, ${\displaystyle A}$는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle A=U\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})U^{*}}$

여기서 ${\displaystyle U}$는 유니터리 행렬이며, ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$은 (중복도를 고려한) ${\displaystyle A}$의 고윳값들이다.

마찬가지로, 실수 대칭행렬 ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$이 주어졌을 때, 스펙트럼 정리에 따라

${\displaystyle A=Q\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})Q^{T}}$

로 적을 수 있다. 여기서 ${\displaystyle Q}$는 직교행렬이며, ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$은 (중복도를 고려한) ${\displaystyle A}$의 고윳값들이다.

힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위에 콤팩트 자기 수반 작용소 ${\displaystyle A\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 ${\displaystyle A}$의 고유벡터들로 구성된, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 정규 직교 기저가 존재하며, 모든 고윳값들은 실수이다.

힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위에 부분적으로 정의된 자기 수반 작용소

${\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\subset {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 다음 조건을 만족시키는 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 및 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ 및 유니터리 작용소

${\displaystyle U\colon {\mathcal {H}}\to L^{2}(X)}$

가 존재한다 (${\displaystyle \operatorname {dom} U={\mathcal {H}}}$, ${\displaystyle U({\mathcal {H}})=L^{2}(X)}$).

${\displaystyle A=U^{-1}fU}$

• 행렬 분해
• 표준 형식
• 조르당 표준형
• 특잇값 분해
• 고유값 분해

• Halmos, Paul (1963년 3월). “What does the spectral theorem say?” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 70 (3). doi:10.2307/2313117. JSTOR 2313117. 

• “Spectral decomposition of a linear operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Spectral theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Spectral theorem” (영어). PlanetMath.