산술-기하 평균 부등식의 시각적인 증명. PR 은 중심이 O 인 원의 지름이며, 반지름 AO의 길이는 a 와 b 의 산술 평균 이다. 삼각형의 닯음을 쓰면, 삼각형 PGR에서 밑변 PR에 대한 높이 GQ는 a 와 b 의 기하 평균 이다. a 와 b 의 비와 상관 없이, AO ≥ GQ이다. (x + y )2 ≥ 4xy 의 시각적인 증명. 양변에 제곱근 을 취하고 2로 나누면 산술-기하 평균 부등식이 된다.[ 1] 수학 에서, 산술-기하 평균 부등식 (算術幾何平均不等式, 영어 : arithmetic–geometric mean inequality )은 산술 평균 과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식 이다. 이에 따르면, 음이 아닌 실수들의 산술 평균 은 항상 기하 평균 보다 크거나 같다. 또한, 두 평균이 같을 필요충분조건 은 모든 수가 같은 것이다.
산술-기하 평균 부등식의 증명은 대부분 수학적 귀납법 을 사용한다. 코시의 증명은 음이 아닌 실수들의 수가 2의 거듭제곱인 경우를 먼저 증명한다. 산술-기하 평균 부등식은 로그 함수 의 오목성 과 동치 이다.
가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 산술-기하 평균 부등식과 유사한 부등식이 성립한다. 산술-기하 평균 부등식은 소위 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식의 일부이다.
유한 개의 음이 아닌 실수들 x 1 , x 2 , … , x n ≥ 0 {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\geq 0} 산술-기하 평균 부등식 이라고 한다.
x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}} 또한, 등호가 성립할 필요충분조건 은, 모든 수들이 같은 것이다.
x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = x 1 x 2 ⋯ x n n ⟺ x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} 수학적 귀납법 을 사용하자. 우선, n = 1 {\displaystyle n=1} n {\displaystyle n} n + 1 {\displaystyle n+1} x 1 , … , x n + 1 ≥ 0 {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n+1}\geq 0}
x = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + 1 n + 1 {\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1}}{n+1}}} 로 적으면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같다.
x n + 1 ≥ x 1 x 2 ⋯ x n + 1 {\displaystyle x^{n+1}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}} x n + 1 = x 1 x 2 ⋯ x n + 1 ⟺ x 1 = x 2 = ⋯ = x n + 1 {\displaystyle x^{n+1}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}} 만약 x 1 = x 2 = ⋯ = x n + 1 {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}} x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} x n > x > x n + 1 {\displaystyle x_{n}>x>x_{n+1}}
( x n − x ) ( x − x n + 1 ) > 0 {\displaystyle (x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0} 이다. 또한, 양의 실수
y = x n + x n + 1 − x ≥ x n − x > 0 {\displaystyle y=x_{n}+x_{n+1}-x\geq x_{n}-x>0} 를 정의하면,
n x = ( n + 1 ) x − x = x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n + x n + 1 − x = x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + y {\displaystyle {\begin{aligned}nx&=(n+1)x-x\\&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}-x\\&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+y\end{aligned}}} 이므로, x {\displaystyle x} n {\displaystyle n} x 1 , x 2 , … , x n − 1 , y {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},y}
x n + 1 = x n x ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 y x {\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx} 이다. 또한,
y x − x n x n + 1 = ( x n + x n + 1 − x ) x − x n x n + 1 = ( x n − x ) ( x − x n + 1 ) > 0 {\displaystyle yx-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}+x_{n+1}-x)x-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0} 이므로
y x > x n x n + 1 {\displaystyle yx>x_{n}x_{n+1}} 이다. 따라서, 다음이 성립한다.
x n + 1 = x n x ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 y x ≥ x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n x n + 1 {\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}} 이 경우, x > 0 {\displaystyle x>0} x 1 , x 2 , … , x n − 1 {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}} x 1 , x 2 , … , x n − 1 ≠ 0 {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}\neq 0}
x n + 1 > x 1 x 2 ⋯ x n − 1 x n x n + 1 {\displaystyle x^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}} 이다. 수학적 귀납법에 따라, 임의의 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
만약
x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} 이라면, 산술 평균과 기하 평균은 x 1 {\displaystyle x_{1}} n > 1 {\displaystyle n>1} n = 2 {\displaystyle n=2} x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}}
( x 1 + x 2 2 ) 2 − x 1 x 2 = 1 4 ( x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 ) − x 1 x 2 = 1 4 ( x 1 2 − 2 x 1 x 2 + x 2 2 ) = ( x 1 − x 2 2 ) 2 > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&=\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}>0\end{aligned}}} 이므로,
x 1 + x 2 2 > x 1 x 2 {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}} 이다.
n = 2 k {\displaystyle n=2^{k}} k {\displaystyle k} k = 1 {\displaystyle k=1} n = 2 {\displaystyle n=2} k − 1 {\displaystyle k-1} k {\displaystyle k}
x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k 2 k = x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k − 1 2 k − 1 + x 2 k − 1 + 1 + x 2 k − 1 + 2 + ⋯ + x 2 k 2 k − 1 2 ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 k − 1 2 k − 1 + x 2 k − 1 + 1 x 2 k − 1 + 2 ⋯ x 2 k 2 k − 1 2 ≥ x 1 x 2 ⋯ x 2 k − 1 2 k − 1 x 2 k − 1 + 1 x 2 k − 1 + 2 ⋯ x 2 k 2 k − 1 = x 1 x 2 ⋯ x 2 k 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}} 여기서 첫번째 부등식이 등식이 되려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로
x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 k − 1 {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}} x 2 k + 1 = x 2 k + 2 = ⋯ = x 2 k {\displaystyle x_{2^{k}+1}=x_{2^{k}+2}=\cdots =x_{2^{k}}} 이어야 한다. 두번째 부등식이 추가로 등식이 되려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 앞의 절반 및 뒤의 절반의 수들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등식이려면
x 1 = x 2 = ⋯ = x 2 k {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k}}} 이어야 한다. 그러나 서로 다른 수이므로, 둘 다 등식이 될 수는 없다. 따라서,
x 1 + x 2 + ⋯ + x 2 k 2 k > x 1 x 2 ⋯ x 2 k 2 k {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}} 이다.
n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} m = 2 k > n {\displaystyle m=2^{k}>n} k = n {\displaystyle k=n} 2 n > n {\displaystyle 2^{n}>n} x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}} x {\displaystyle x} n {\displaystyle n} m {\displaystyle m}
x n + 1 = x n + 2 = ⋯ = x m = x {\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=x} 그렇다면, 이미 증명한 m {\displaystyle m}
x = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = m n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + m − n n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + ( m − n ) x m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n + x n + 1 + ⋯ + x m m > x 1 x 2 ⋯ x n x n + 1 ⋯ x m m = x 1 x 2 ⋯ x n x m − n m {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+(m-n)x}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}}}\end{aligned}}} 따라서
x m > x 1 x 2 ⋯ x n x m − n {\displaystyle x^{m}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}} 이다. 즉,
x > x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle x>{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}} 이다.
우선, n = 1 , 2 {\displaystyle n=1,2} n > 1 {\displaystyle n>1} n + 1 > 2 {\displaystyle n+1>2} x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}
x 1 + ⋯ + x n + x n + 1 n + 1 − ( x 1 ⋯ x n x n + 1 ) 1 n + 1 > 0 {\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-(x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1})^{\frac {1}{n+1}}>0} 이는 음이 아닌 실수 x 1 , … , x n ≥ 0 {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\geq 0}
f ( t ) = x 1 + ⋯ + x n + t n + 1 − ( x 1 ⋯ x n t ) 1 n + 1 ( t ≥ 0 ) {\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-(x_{1}\cdots x_{n}t)^{\frac {1}{n+1}}\qquad (t\geq 0)} 를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.
f ( x n + 1 ) > 0 {\displaystyle f(x_{n+1})>0} 극값 을 구하기 위해, f {\displaystyle f} 미분 을 취하자.
f ′ ( t ) = 1 n + 1 − 1 n + 1 ( x 1 ⋯ x n ) 1 n + 1 t − n n + 1 {\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}}} 따라서, f {\displaystyle f} 임계점 을 갖는다.
f ′ ( t 0 ) = 0 ⟺ t 0 = ( x 1 ⋯ x n ) 1 n {\displaystyle f'(t_{0})=0\iff t_{0}=(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}} 따라서, f {\displaystyle f}
f ( 0 ) = x 1 + ⋯ + x n n + 1 > 0 {\displaystyle f(0)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}>0} f ( t 0 ) = x 1 + ⋯ + x n + ( x 1 ⋯ x n ) 1 n n + 1 − ( x 1 ⋯ x n ) 1 n + 1 ( x 1 ⋯ x n ) 1 n ( n + 1 ) = x 1 + ⋯ + x n n + 1 + 1 n + 1 ( x 1 ⋯ x n ) 1 n − ( x 1 ⋯ x n ) 1 n = x 1 + ⋯ + x n n + 1 − n n + 1 ( x 1 ⋯ x n ) 1 n = n n + 1 ( x 1 + ⋯ + x n n − ( x 1 ⋯ x n ) 1 n ) > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\right)\\&>0\end{aligned}}} lim t → ∞ f ( t ) = ∞ > 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\infty >0} 여기서, f ( t 0 ) = 0 {\displaystyle f(t_{0})=0} x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}} t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0}
f ( t ) > 0 {\displaystyle f(t)>0} 이다. 특히, t = x n + 1 {\displaystyle t=x_{n+1}}
f ( x n + 1 ) > 0 {\displaystyle f(x_{n+1})>0} 이다. 이렇게 n + 1 {\displaystyle n+1}
산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 x 1 , x 2 … , x n > 0 {\displaystyle x_{1},x_{2}\dots ,x_{n}>0}
ln x 1 + x 2 + ⋯ + x n n > 1 n ( ln x 1 + ln x 2 + ⋯ + ln x n ) ( ¬ x 1 = x 2 = ⋯ = x n ) {\displaystyle \ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}>{\frac {1}{n}}(\ln x_{1}+\ln x_{2}+\cdots +\ln x_{n})\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})} 이는 로그 함수의 옌센 부등식 이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수 임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법
( ln x ) ″ = ( 1 x ) ′ = − 1 x 2 < 0 ( x > 0 ) {\displaystyle (\ln x)''=\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}<0\qquad (x>0)} 에 따라 성립한다.
가중 산술 평균 과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n 개의 음수가 아닌 실수들 x 1 , x 2 , …, x n 1 , α2 , …, αn α = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}
α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n α ≥ x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n α {\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}} 마찬가지로 이 부등식은 모든 x k
α k = 0 ( k = 0 , 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle \alpha _{k}=0(k=0,1,\cdots ,n)} x k {\displaystyle x_{k}} α k {\displaystyle \alpha _{k}}
f ( x ) = l n x {\displaystyle f(x)=lnx}
x > 0 {\displaystyle x>0} f ( x ) = l n x {\displaystyle f(x)=lnx}
ln ( α 1 x 1 + ⋯ + α n x n α ) > α 1 α ln x 1 + ⋯ + α n α ln x n = ln x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n α . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}{\Bigr )}&>{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}}{\alpha }}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}.\end{aligned}}} 이다. f ( x ) = l n x {\displaystyle f(x)=lnx}
α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n α ≥ x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n α {\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}} 가 성립함이 증명된다.
산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균 과 조화 평균 에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 x 1 , x 2 , … , x n ≥ 0 {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\geq 0}
n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n ≤ x 1 x 2 ⋯ x n n ≤ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≤ x 1 2 + x 2 2 + ⋯ x n 2 n {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}} 특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건 은, 모든 실수들이 같다는 것이다.
n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n < x 1 x 2 ⋯ x n n < x 1 + x 2 + ⋯ + x n n < x 1 2 + x 2 2 + ⋯ x n 2 n ( ¬ x 1 = x 2 = ⋯ = x n ) {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}<{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}<{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}<{\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})} n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n = x 1 x 2 ⋯ x n n = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ x n 2 n ( x 1 = x 2 = ⋯ = x n ) {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})} 이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식 과 일반화된 평균 부등식 이 있다.
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cee2a1a6788650ee814a8da59e2f78d4f63cd92)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44eca6250abd3207089767e7b2cae2b22e2d9e7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd6928892a3005edcf7c6ef1cc3137782eecb08)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1e238754f3dcedd3256c0d60cee9dcd27aa14a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+(m-n)x}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d5b9bf0c730f2ec2b643c92ec534ab6df5ea64)
![{\displaystyle x>{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01de3e9609933c063c1c3e4fd8d7c50d3851a43)
![{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2b91d2be246172de86935612405045be57ce99)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}{\Bigr )}&>{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}}{\alpha }}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e0666ae51ff73413f9ce32dd6ede726a6de435)
![{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18257989c116e1d5a60e2458ac91cd5f038ec7f7)
![{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}<{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}<{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}<{\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947f58413ecce4af1105138274fcec66c6d2f931)
![{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa67f5cbc92fcdd1f22a4783f788ac6848bc70f)