부풀리기

대수기하학에서 부풀리기(blowup)는 대수다양체나 스킴의 특이점을 해소하기 위하여 특이점을 특이점에 대한 사영 접평면으로 대체하는 과정이다.^[1][2][3]

스킴 ${\displaystyle X}$ 위의 준연접 아이디얼 층 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$가 있다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$에서의 부풀리기는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}$
• 스킴 사상 ${\displaystyle \pi \colon \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X}$. 또한, ${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}}$는 ${\displaystyle \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}$ 위의 가역층이다. 이에 대응되는 유효 카르티에 인자를 ${\displaystyle \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}$의 예외 인자(例外因子, 영어: exceptional divisor)라고 한다. 만약 이 카르티에 인자가 베유 인자일 경우, 이는 ${\displaystyle \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}$의 특별한 부분 스킴으로 간주할 수 있다.

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

• 임의의 스킴 ${\displaystyle Y}$ 및 스킴 사상 ${\displaystyle \varpi \colon Y\to X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \varpi ^{-1}{\mathcal {I}}}$가 ${\displaystyle Y}$ 위의 가역층이라면, ${\displaystyle \varpi =\pi \circ f}$가 되는 스킴 사상 ${\displaystyle f\colon Y\to \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X}$가 유일하게 존재한다.

이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 부풀리기는 만약 존재한다면 (유일한 동형 사상 아래) 유일하다.

스킴 ${\displaystyle X}$ 위의 준연접 아이디얼 층 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$가 있다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$ 위의 가환 등급환의 층

${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}={\mathcal {O}}_{X}\oplus {\mathcal {I}}\oplus {\mathcal {I}}^{2}\oplus \dotsb }$

을 정의할 수 있다.

이 경우, 이에 대한 상대 사영 스펙트럼(영어: relative Proj construction)을 취할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X=\operatorname {\underline {Proj}} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$

이는 정의에 따라 표준적인 스킴 사상

${\displaystyle \pi _{X}\colon \operatorname {Bl} _{\mathcal {I}}X\to X}$

을 갖는다. 이를 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$에서의 부풀리기라고 한다. 이 구성이 추상적 정의의 보편 성질을 충족시킴을 보일 수 있다.

이 스킴 사상은 ${\displaystyle X\setminus \operatorname {supp} {\mathcal {I}}}$에서 동형 사상이다. 이 경우 아이디얼 층

${\displaystyle \bigoplus _{n=1}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$

으로 정의되는 카르티에 인자를 예외 인자라고 한다.

${\displaystyle X}$가 국소 뇌터 스킴이며, ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$와 ${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$가 닫힌 몰입이라고 하자. (즉, 이들은 준연접 아이디얼 층으로 정의된다.) 그렇다면, 부풀리기

${\displaystyle \pi _{X}\colon \operatorname {Bl} _{Z}X\to X}$

를 정의할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle Y}$의 부풀리기는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Bl} _{Y\cap Z}X=\operatorname {cl} _{\operatorname {Bl} _{Z}X}(\pi ^{-1}(Y\setminus Z))}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}}$이 체 ${\displaystyle K}$에 대한 ${\displaystyle n}$차원 아핀 공간이라고 하고, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$이 같은 체에 대한 ${\displaystyle n-1}$차원 사영 공간이라고 하자. ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$의 좌표를 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$이라고 하고, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$의 동차좌표를 ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$이라고 하자.

원점 ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{K}^{n}}$에 대한 부풀리기 ${\displaystyle \operatorname {Bl} _{0}\mathbb {A} _{K}^{n}\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}\times \mathbb {P} _{K}^{n-1}}$는 다음과 같은 아이디얼로 정의되는 부분 대수다양체이다. 이는 준사영 대수다양체 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}\times \mathbb {P} _{K}^{n-1}\subsetneq \mathbb {P} _{K}^{2n-1}}$의 닫힌 부분 대수다양체이므로, ${\displaystyle K}$에 대한 준사영 대수다양체이다.

${\displaystyle \operatorname {Bl} _{0}\mathbb {A} ^{n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n})|x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}\forall i,j=1,\dots ,n\}}$.

물론 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

${\displaystyle \pi \colon \operatorname {Bl} _{0}\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{n}}$

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n})\mapsto (x_{1},\dots ,x_{n})}$.

이 사상은 체가 복소수일 경우 정칙사상(regular map)이다.

이 사상의 올은 다음 두 가지 경우가 있다.

• 원점이 아닌 점 위의 올: 이 경우 올의 유일한 점은 ${\displaystyle [y_{1}:\dotsb :y_{n}]=[x_{1}:\dotsb :x_{n}]}$이다. 즉, 올은 한원소 공간이다.

• 원점 위의 올: 이 경우 올은 (자명하게) ${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {P} _{K}^{n-1}}$이다.

이 사상은 쌍유리 사상이며, 구체적으로 원점을 제외하면 대수다양체의 동형 사상이다. ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} ^{n}}$에서는 ${\displaystyle E=\pi ^{-1}(0)\cong \mathbb {P} ^{n-1}}$이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {Bl} _{0}\mathbb {A} ^{n}}$은 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$에서 원점만을 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$로 대체하여 얻는 공간이며, 예외 인자는 이 사영 공간이다.

마찬가지로, 아핀 공간 속의 임의의 아핀 대수다양체 역시 위와 같이 부풀려질 수 있다. 구체적으로, 아핀 공간 속의 부분 대수다양체 ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$의 원점에서의 부풀리기는 사영 사상

${\displaystyle \pi \colon \operatorname {Bl} _{0}\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{n}}$

아래, 부풀리기를 한 점을 제외한 나머지의 원상 ${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus \{0\})}$의 자리스키 폐포이다.

아핀 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$을 생각하자. 이 경우, 그 위의 준연접 아이디얼 층은 아이디얼

${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R}$

이다. 이 경우, 상대 사영 스펙트럼은 다음과 같은 가환 등급환의 사영 스펙트럼이다.

${\displaystyle B=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {i}}^{n}=R\oplus {\mathfrak {i}}\oplus {\mathfrak {i}}^{2}\oplus \dotsb =R[t{\mathfrak {i}}]\subseteq R[t]\qquad (\deg t=1)}$

만약 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$가 추가로 뇌터 스킴이라면, 그 위의 연접 아이디얼 층은 유한 생성 아이디얼

${\displaystyle {\mathfrak {i}}=(r_{1},\dotsc ,r_{n})\subseteq R}$

이며, 이 경우 부풀리기를 정의하는 가환 등급환은 다음과 같다.

${\displaystyle B=R[r_{1}t,r_{2}t,\dotsc ,r_{n}t]\subseteq R[t]\qquad (\deg t=1)}$

특히, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}=0}$(영 아이디얼)인 경우, ${\displaystyle B=R}$이다. 반대로, ${\displaystyle {\mathfrak {i}}=(1)=R}$인 경우, ${\displaystyle B=R[t]}$이다.

스킴 ${\displaystyle X}$를 공집합에서 부풀린다면, 이는 ${\displaystyle X}$와 같다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층은 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$이다. 구체적으로

${\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} _{X}{\mathcal {O}}_{X}[t]=\mathbb {P} _{X}({\mathcal {O}}_{X})=X}$

이다. 보다 일반적으로, 스킴을 (${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 등의) 가역층에서 부풀린다면, 원래 스킴을 얻는다. 이 사실은 부풀리기의 보편 성질에 의하여 자동적으로 성립한다.

스킴 ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle X}$ 전체에서 부풀린다면, 이는 공집합이다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼 층은 0이다. 구체적으로

${\displaystyle \operatorname {\underline {Proj}} _{X}({\mathcal {O}}_{X}\oplus 0\oplus 0\oplus \dotsb )=\operatorname {\underline {Proj}} _{X}{\mathcal {O}}_{X}=\mathbb {P} _{X}(0)=\varnothing }$

이다.

부풀리기는 대수다양체의 내재적인 변환이다. 역사적으로 이 구성은 ‘모노이드 변환’(영어: monoidal transformation) 또는 ‘시그마 과정’(영어: σ-process) 따위로 불렸으며, 외재적으로 (즉, 사영 공간 속으로의 구체적 매장을 통하여) 정의되었지만, 사실 이 구성은 대수다양체의 사영 공간이나 아핀 공간으로의 매장에 의존하지 않는다.

부풀리기에 대하여 헤르비히 하우저(독일어: Herwig Hauser)는 다음과 같이 적었다.

• “Monoidal transformation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Blow-up algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Blowup algebra”. 《Commalg》. 
• Bravo, A.; Villamayor U., Orlando E. (2012년 5월). “Projective schemes and blow-ups” (PDF) (영어).