대수기하학 에서 베로네세 매장 (Veronese埋藏, 영어 : Veronese embedding )은 사영 공간 을 모든 가능한 동차 단항식을 통하여 더 높은 차원의 사영 공간에 매장 하는 방법이다.
임의의 자연수 등급 가환환
R = ⨁ i = 0 ∞ R i {\displaystyle R=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{i}} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 정수 d ∈ Z + {\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}} 자연수 등급 가환환
R [ d ] = ⨁ i = 0 ∞ R d i {\displaystyle R^{[d]}=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{di}} R i [ d ] = R d i {\displaystyle R_{i}^{[d]}=R_{di}} 을 정의할 수 있다. 베로네세 동형 사상 은 다음과 같은 스킴 의 동형 사상이다.
Proj R = Proj R [ d ] ∀ d ∈ Z + {\displaystyle \operatorname {Proj} R=\operatorname {Proj} R^{[d]}\qquad \forall d\in \mathbb {Z} ^{+}} 여기서 Proj {\displaystyle \operatorname {Proj} } 사영 스펙트럼 이다. 특히, 만약 R [ d ] {\displaystyle R^{[d]}} R 0 {\displaystyle R_{0}} R d {\displaystyle R_{d}} R d {\displaystyle R_{d}} R 0 {\displaystyle R_{0}} 가군 으로서의 임의의 생성원 집합 을 S {\displaystyle S} 환 준동형
R 0 [ S ] → R [ d ] {\displaystyle R_{0}[S]\to R^{[d]}} 이 존재하며, 이를 통하여 닫힌 몰입
Proj R ≅ Proj R [ d ] ↪ Proj R 0 [ S ] {\displaystyle \operatorname {Proj} R\cong \operatorname {Proj} R^{[d]}\hookrightarrow \operatorname {Proj} R_{0}[S]} 이 존재한다. 이를 베로네세 매장 이라고 한다.
가환환 K {\displaystyle K} 사영 공간 P K n = Proj K [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]} d ∈ Z + {\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}}
( K [ x 0 , x 1 , … , x n ] ) [ d ] = K [ x 0 d , x 0 d − 1 x 1 , … , x 0 x 1 d − 1 , x 0 x 1 d − 2 x 2 , … , x n − 1 x n d − 1 , x n d ] {\displaystyle (K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}])^{[d]}=K[x_{0}^{d},x_{0}^{d-1}x_{1},\dots ,x_{0}x_{1}^{d-1},x_{0}x_{1}^{d-2}x_{2},\dots ,x_{n-1}x_{n}^{d-1},x_{n}^{d}]} 이다. 이러한 단항식의 수는
( n + d d ) {\displaystyle {\binom {n+d}{d}}} 이다. R [ d ] {\displaystyle R^{[d]}} 닫힌 몰입
P K n ↪ P K ( n + d d ) − 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}\hookrightarrow \mathbb {P} _{K}^{{\binom {n+d}{d}}-1}} 을 정의한다. 이를 베로네세 매장 (Veronese embedding )라고 한다.
차수 d {\displaystyle d} P n → P 0 {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{0}} 상수 함수 이며, d = 1 {\displaystyle d=1} P n → P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n}} 항등 함수 이다.
뒤틀린 3차 곡선. 3차원 아핀 공간의 좌표를 ( X , Y , Z ) {\displaystyle (X,Y,Z)} Y = Z 2 {\displaystyle Y=Z^{2}} X = Z 3 {\displaystyle X=Z^{3}} n = 1 {\displaystyle n=1}
P 1 → P d {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}} 은 d {\displaystyle d} d {\displaystyle d} 유리 곡선 을 정의하며, 이를 유리 정규 곡선 (有理正規曲線, 영어 : rational normal curve )이라고 한다. 낮은 차수의 경우 이는 다음과 같다.
d = 1 {\displaystyle d=1} d = 2 {\displaystyle d=2} [ X , Y , Z ] = [ x 2 , x y , y 2 ] {\displaystyle [X,Y,Z]=[x^{2},xy,y^{2}]} Y 2 = X Z {\displaystyle Y^{2}=XZ} 사영 평면 속의 원뿔 곡선 을 정의한다. d = 3 {\displaystyle d=3} [ X , Y , Z , W ] = [ x 3 , x 2 y , x y 2 , y 3 ] {\displaystyle [X,Y,Z,W]=[x^{3},x^{2}y,xy^{2},y^{3}]} X Z − Y 2 = X W − Y Z = Y W − Z 2 = 0 {\displaystyle XZ-Y^{2}=XW-YZ=YW-Z^{2}=0} 뒤틀린 3차 곡선 (영어 : twisted cubic )이라고 한다. 이는 (아이디얼의) 완전 교차가 아닌 가장 간단한 대수다양체이다. 즉, 이를 정의하는 데 3개의 기약 동차다항식이 필요하며, 3개 가운데 하나를 생략하면 새 점들이 추가된다.여기서 "정규"는 정규 스킴 과는 상관없는 구식 용어이며, 매장을 정의하는 인자 선형계가 완비 선형계임을 뜻한다.
사영 평면 P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} P 5 {\displaystyle \mathbb {P} ^{5}} 베로네세 곡면 (Veronese曲面, 영어 : Veronese surface )이라고 한다.
( x , y , z ) ↦ ( x 2 , y 2 , z 2 , x y , y z , z x ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x^{2},y^{2},z^{2},xy,yz,zx)} 베로네세 곡면에서, 임의의 5개의 점을 고르자. 그렇다면, 5차원 사영 공간 속에서 이 5개의 점을 지나는 (여차원 1의) 유일한 초평면 이 존재한다. 이 초평면을 정의하는, ( x 2 , y 2 , z 2 , x y , y z , z x ) {\displaystyle (x^{2},y^{2},z^{2},xy,yz,zx)} ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 원뿔 곡선 을 이루며, 이 원뿔 곡선은 베로네세 곡면의 5개의 점들을 지나간다. 즉, 이를 통해 평면에서 5개의 점은 (일반적으로) 유일한 원뿔 곡선을 결정함을 알 수 있다.
이탈리아의 수학자 주세페 베로네세 의 이름을 땄다.
![{\displaystyle R^{[d]}=\bigoplus _{i=0}^{\infty }R_{di}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dbebac3a380ff5eccdaa0d7e3a61eebd8b90723)
![{\displaystyle R_{i}^{[d]}=R_{di}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6802a414358bf406bd1475932891ece5535a732f)
![{\displaystyle \operatorname {Proj} R=\operatorname {Proj} R^{[d]}\qquad \forall d\in \mathbb {Z} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1048532180c32ee1b5800bf32559c8e9190a14b0)
![{\displaystyle R^{[d]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52900f1de366f3000a3edb429ba3a899eb3da8f)
![{\displaystyle R_{0}[S]\to R^{[d]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b015c4f8de65c31f8894b217d39a8b3460d98ba)
![{\displaystyle \operatorname {Proj} R\cong \operatorname {Proj} R^{[d]}\hookrightarrow \operatorname {Proj} R_{0}[S]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313842b78d9c6860d9b8e27c701bed9c9a5c7382)
![{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a62d93708b608f09b51f2688d1a334e054f3e5)
![{\displaystyle (K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}])^{[d]}=K[x_{0}^{d},x_{0}^{d-1}x_{1},\dots ,x_{0}x_{1}^{d-1},x_{0}x_{1}^{d-2}x_{2},\dots ,x_{n-1}x_{n}^{d-1},x_{n}^{d}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f706295df52bbb21a00e2b2fef4bfc488384cd)
![{\displaystyle [X,Y,Z]=[x^{2},xy,y^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68967d9816674e888c6bcb496d8aacc7f48cb018)
![{\displaystyle [X,Y,Z,W]=[x^{3},x^{2}y,xy^{2},y^{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c61c7dddb5117625479c8342abd070592c1b7b2)
