반연속 함수

해석학과 위상수학에서 상반연속 함수(上半連續函數, 영어: upper semicontinuous function)와 하반연속 함수(下半連續函數, 영어: lower semicontinuous function)는 연속 함수의 성질을 약화한 개념이다. 대략, 상반연속 함수에서, 정의역의 점이 ${\displaystyle x}$에 가까울 때 함수의 값은 ${\displaystyle f(x)}$에 가깝거나 보다 작다. 반대로, 하반연속 함수의 정의역의 점이 ${\displaystyle x}$에 가까우면 함수 값은 ${\displaystyle f(x)}$에 가깝거나 크다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에서 전순서 집합 ${\displaystyle (Y,\leq )}$로 가는 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, 상반연속 함수라고 한다.

• ${\displaystyle Y}$에 하위상을 가했을 때, ${\displaystyle f}$는 연속 함수이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle \{x\in X\colon f(x)<y\}}$는 열린집합이다.

마찬가지로, ${\displaystyle f}$가 다음 조건을 만족시키면, 하반연속 함수라고 한다.

• ${\displaystyle Y}$에 상위상을 가했을 때, ${\displaystyle f}$는 연속 함수이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle \{x\in X\colon f(x)>y\}}$는 열린집합이다.

실수 값의 함수의 경우 상·하반연속 함수의 개념은 상극한과 하극한을 통해 정의할 수 있다. 즉, 위상 공간 ${\displaystyle X}$에서 실수선으로 가는 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 상반연속 함수이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)}$

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 하반연속 함수이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)}$

위상 공간 ${\displaystyle X}$에서 전순서 집합 ${\displaystyle (Y,\leq )}$로 가는 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 상반연속 함수이다.
• ${\displaystyle f}$를 반대 전순서 집합 ${\displaystyle (Y,\leq )^{\operatorname {op} }=(Y,\geq )}$를 공역으로 하는 함수로 여겼을 때, 하반연속 함수이다.

특히, ${\displaystyle x\mapsto -x}$가 실수의 전순서 집합과 그 반대 전순서 집합 사이의 순서 동형이므로, 위상 공간 ${\displaystyle X}$에서 실수선으로 가는 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 상반연속 함수이다.
• ${\displaystyle -f}$는 하반연속 함수이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에서 전순서 집합 ${\displaystyle (Y,\leq )}$로 가는 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 공역에 순서 위상을 가했을 때, 연속 함수이다.
• 상반연속 함수이자 하반연속 함수이다.

이는 순서 위상이 하위상과 상위상보다 섬세한 가장 엉성한 위상이기 때문이다.

상반연속 또는 하반연속 함수 ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$의 불연속점의 집합은 제1 범주 집합을 이룬다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 정규 공간이다.
• 임의의 상반연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ 및 하반연속 함수 ${\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\leq g(x)}$라면, ${\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\leq h(x)\leq g(x)}$인 연속 함수 ${\displaystyle h\colon X\to \mathbb {R} }$가 존재한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:159, Exercise 21B}

• 정규 공간이며, 가산 파라콤팩트 공간이다.
• 임의의 상반연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ 및 하반연속 함수 ${\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)<g(x)}$라면, ${\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)<h(x)<g(x)}$인 연속 함수 ${\displaystyle h\colon X\to \mathbb {R} }$가 존재한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완전 정규 공간이다.
• 임의의 상반연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ 및 하반연속 함수 ${\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\leq g(x)}$라면, ${\displaystyle \forall x\in X\colon f(x)\leq h(x)\leq g(x)}$이며, ${\displaystyle f(x)<g(x)}$일 때 ${\displaystyle f(x)<h(x)<g(x)}$인 연속 함수 ${\displaystyle h\colon X\to \mathbb {R} }$가 존재한다.

임의의 상(하)반연속 함수 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$에 대하여,

${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$

${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$

는 둘 다 상(하)반연속 함수이다.

임의의 상(하)반연속 함수 ${\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} }$에 대하여, 두 함수의 합

${\displaystyle f+g\colon X\to \mathbb {R} }$

는 상(하)반연속 함수이다.

임의의 상(하)반연속 함수 ${\displaystyle f,g\colon X\to [0,\infty )}$에 대하여, 곱

${\displaystyle f\cdot g\colon X\to [0,\infty )}$

는 상(하)반연속 함수이다.

다음과 같이 조각적으로 정의된 함수 f = −1 (x < 0 에 대해) and f = 1 (x ≥ 0 에 대해)를 생각해보자. 이 함수는 c = 0에서 위에서 반연속이다. 하지만 아래서 반연속은 아니다.

x보다 같거나 작은 정수 중 가장 큰 값을 주는 내림함수 f(x)=⌊x⌋는 전구간에서 위에서 반연속이다. 비슷하게, 올림함수 f(x)=⌈x⌉는 아래로 반연속이다.

또한, 굳이 좌연속 또는 우연속일 필요 없이 함수는 반연속성을 가질 수 있다. 예를 들어, 함수

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{if }}0\leq x<1,\\2&{\text{if }}x=1,\\1/2+(1-x)&{\text{if }}x>1,\end{cases}}}$

는 x = 1에서 좌연속 또는 우연속도 아니지만 위에서 반연속이다. 우극한의 값은 1/2, 좌극한의 값은 1이지만, 둘 다 2보다는 작다. 비슷하게 함수

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0,\\1&{\text{if }}x=0,\end{cases}}}$

는 x = 0에서 좌극한과 우극한이 존재하진 않지만, 위에서 반연속이다.

• “Semicontinuous function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semicontinuous map”. 《nLab》 (영어). 
• “Semicontinuous topology”. 《nLab》 (영어).