바이어슈트라스 제타 함수 (Weierstrass Zeta Function) ζ ( z ; g 2 , g 3 ) {\displaystyle \zeta (z;g_{2},g_{3})}
d ζ ( z ; g 2 , g 3 ) d z = − ℘ ( z ; g 2 , g 3 ) {\displaystyle {{d\zeta (z;g_{2},g_{3})} \over {dz}}=-\wp (z;g_{2},g_{3})} 주기 함수 이다.[ 1] ζ ( z ; Λ ) = σ ′ ( z ; Λ ) σ ( z ; Λ ) = 1 z + ∑ w ∈ Λ ∗ ( 1 z − w + 1 w + z w 2 ) {\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right)} 이를 종종 아이젠슈타인 급수 들이 들어간 무한 급수로 나타내기도 한다: ζ ( z ; Λ ) = 1 z − ∑ k = 1 ∞ G 2 k + 2 ( Λ ) z 2 k + 1 {\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}} 여기서 G 2 k + 2 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}} k + 2인 아이젠슈타인 급수 이다. 복소평면 상에서 바이어슈트라스 제타 함수의 색 그래프 바이어슈트라스 제타 함수는 바이어슈트라스 타원 함수 (Weierstrass Elliptic Function)와 주되게 관련되어 나타나는 특수 함수 로,
또한 특히 다른 바이어슈트라스 함수들(바이어슈트라스 함수 패밀리)과의 연관성을 복소변수들의 정보로 일관되게 보여준다.
카를 바이어슈트라스 의 이름에서 유래한 함수이다. 바이어슈트라스 제타 함수는 정수론 과 밀접한 연관이 있는 리만 제타 함수 와 혼동되어서는 안 된다.
℘ ( z ; g 2 , g 3 ) {\displaystyle \wp (z;g_{2},g_{3})} 바이어슈트라스 타원 함수 ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})} g 2 , g 3 {\displaystyle g_{2},g_{3}} 불변량 (invariant)으로 취한 값이다.이러한 홀함수 (odd function)의 성질을 갖는 ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} ℘ ( z + 2 ω 1 ) = ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z+2\omega _{1})=\wp (z)} ζ ( z + 2 ω 1 ) = ζ ( z ) + 2 η 1 {\displaystyle \zeta (z+2\omega _{1})=\zeta (z)+2\eta _{1}} z = − ω 1 {\displaystyle z=-\omega _{1}} ζ ( − ω 1 ) + 2 η 1 = − ζ ( ω 1 ) + 2 η 1 {\displaystyle \zeta (-\omega _{1})+2\eta _{1}=-\zeta (\omega _{1})+2\eta _{1}} η 1 = ζ ( ω 1 ) {\displaystyle \eta _{1}=\zeta (\omega _{1})} η 2 = ζ ( ω 2 ) {\displaystyle \eta _{2}=\zeta (\omega _{2})} η 1 ω 2 − η 2 ω 1 = 1 2 π i {\displaystyle \eta _{1}\omega _{2}-\eta _{2}\omega _{1}={1 \over 2}\pi i\qquad } [ 2] η {\displaystyle \eta \;} 바이어슈트라스 에타 함수 (Weierstrass Eta Function)바이어슈트라스 에타 함수는 데데킨트 에타 함수 와 혼동해서는 안 된다. 그리고 디리클레 에타 함수 와도 다르니 주의해야 한다.
또한,
ζ ( z ; g 2 , g 3 ) = d ln σ ( z ; g 2 , g 3 ) d z {\displaystyle \zeta (z;g_{2},g_{3})={{d\ln \sigma (z;g_{2},g_{3})} \over {dz}}\qquad } σ ( z ; g 2 , g 3 ) {\displaystyle \sigma (z;g_{2},g_{3})} σ ( z ; ω 2 , ω 3 ) {\displaystyle \sigma (z;\omega _{2},\omega _{3})} 바이어슈트라스 시그마 함수
[ 편집 ] ↑ http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassZetaFunction.html ↑ Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Quasi-Periodic Functions. The Function zeta(z)" and "The Quasi-Periodicity of the Function zeta(z)." §20.4 and 20.41 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 445-447 and 449-451, 1990 
