효소 반응시 기질의 농도에 따른 초기 반응속도 미카엘리스-멘텐 반응속도론 (영어 : Michaelis–Menten kinetics ) 또는 미하엘리스-멘텐 반응속도론 은 생화학 에서 가장 잘 알려진 효소 반응속도론 에 관한 모델 중 하나이다. 기질 농도에 따른 효소 의 초기 반응속도의 그래프를 대수적으로 나타내는 방법이다.[ 1] 리어노어 미하엘리스 와 캐나다의 의사 모드 멘텐 에서 따온 것이다.
v = d [ P ] d t = V max [ S ] K M + [ S ] . {\displaystyle v={\frac {d[P]}{dt}}={\frac {V_{\max }{[S]}}{K_{\mathrm {M} }+[S]}}.} 이 식을 미카엘리스-멘텐 식 (영어 : Michaelis-Menten equation )이라고 부른다.
[ S ] {\displaystyle [S]} [ E ] {\displaystyle [E]} [ E S ] {\displaystyle [ES]} [ P ] {\displaystyle [P]} V m a x {\displaystyle V_{max}} K M {\displaystyle K_{\mathrm {M} }} 효소-기질의 반응을 통해 생성되는 물질에 대해서 화학 반응식 으로 표현하면,
E + S ⇌ k r k f E S ⟶ k c a t E + P {\displaystyle E+S\,{\overset {k_{f}}{\underset {k_{r}}{\rightleftharpoons }}}\,ES\,{\overset {k_{\mathrm {cat} }}{\longrightarrow }}\,E+P} 이라고 쓸 수 있고, 이 경우 위의 반응식을 시간에 따른 변화량으로 표현하기 위해, 상미분방정식 을 이용하면,
d [ E ] d t = − k f [ E ] [ S ] + k r [ E S ] + k c a t [ E S ] d [ S ] d t = − k f [ E ] [ S ] + k r [ E S ] d [ E S ] d t = k f [ E ] [ S ] − k r [ E S ] − k c a t [ E S ] d [ P ] d t = k c a t [ E S ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d[E]}{dt}}&=-k_{f}[E][S]+k_{r}[ES]+k_{cat}[ES]\\{\frac {d[S]}{dt}}&=-k_{f}[E][S]+k_{r}[ES]\\{\frac {d[ES]}{dt}}&=k_{f}[E][S]-k_{r}[ES]-k_{cat}[ES]\\{\frac {d[P]}{dt}}&=k_{cat}[ES].\end{aligned}}} 이라고 쓸 수 있다. 이때, "효소의 양은 반응 전후에 일정"하기 때문에, [ E ] + [ E S ] = [ E ] 0 {\displaystyle [E]+[ES]=[E]_{0}}
[ 편집 ] 화학 반응에서 화학 평형점에 도달 할 경우, "생성물이 만들어지는 반응속도와 이 물질이 다시 분해되는 속도는 같다"는 정보를 이용할 수 있다. 즉 위의 반응이 충분한 시간이 흘러 반응이 평형점 (Equilibrium point)에 있다고 가정하면,
k f [ E ] [ S ] − k r [ E S ] − k c a t [ E S ] = 0 {\displaystyle k_{f}[E][S]-k_{r}[ES]-k_{\mathrm {cat} }[ES]=0} 가 성립하며, "효소의 양은 반응 전후에 일정하다"라는 조건을 통해서
[ E ] = [ E ] 0 − [ E S ] . {\displaystyle [E]=[E]_{0}-[ES].} 라는 식을 얻을 수 있다. 이 두 식을 연립하면,
k f ( [ E ] 0 − [ E S ] ) [ S ] − k r [ E S ] − k c a t [ E S ] = 0 {\displaystyle k_{f}([E]_{0}-[ES])[S]-k_{r}[ES]-k_{\mathrm {cat} }[ES]=0} 그리고 [ E S ] {\displaystyle [ES]}
[ E S ] = [ E ] 0 [ S ] k r + k c a t k f + [ S ] {\displaystyle [ES]={\frac {[E]_{0}[S]}{{\frac {k_{r}+k_{\mathrm {cat} }}{k_{f}}}+[S]}}} 라는 식을 얻을 수 있다. 이때, : K M = k r + k c a t k f {\displaystyle K_{\mathrm {M} }={\frac {k_{r}+k_{\mathrm {cat} }}{k_{f}}}}
따라서 최종 생성물의 반응속도는,
v = d [ P ] d t = V max [ S ] K M + [ S ] . {\displaystyle v={\frac {d[P]}{dt}}={\frac {V_{\max }{[S]}}{K_{\mathrm {M} }+[S]}}.} 이라고 표현 할 수 있고, 이때 V max = k c a t [ E ] 0 {\displaystyle V_{\max }=k_{\mathrm {cat} }[E]_{0}}
소량일 때 효소의 농도에 비례하며, 기질의 농도가 과량일 때 일정한 한계 속도에 접근한다. 기질의 농도가 K m {\displaystyle K_{m}} 0.5 V m a x {\displaystyle 0.5V_{max}}
라인위버-버크 방정식 (Lineweaver-Burk equation) 또는 이중-역수 플룻(Double-reciprocal plot)은 미하엘리스-멘텐 식으로부터 유도된다.
1 V 0 {\displaystyle {1} \over {V_{0}}} = {\displaystyle =} K M V m a x [ S ] {\displaystyle {K_{M}} \over {V_{max}[S]}} + {\displaystyle +} 1 V m a x {\displaystyle {1} \over {V_{max}}}
이디-호프스티 다이어그램(Eadie-Hofstee diagram)도 미하엘레스-멘텐 식으로부터 유도된다.
↑ Michaelis L., Menten M. (1913). “Die Kinetik der Invertinwirkung”. 《Biochem. Z.》 49 : 333–369. English translation . Retrieved 6 April 2007.
![{\displaystyle v={\frac {d[P]}{dt}}={\frac {V_{\max }{[S]}}{K_{\mathrm {M} }+[S]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e7687f5e75c518c46953ef57e4bf3358e36900)
![{\displaystyle [S]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292bbb82029aa583c5d2ac5fa1d7e4fedf537d8b)
![{\displaystyle [E]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a170d18691c57fbfee5802ee401bd9f84ac8804b)
![{\displaystyle [ES]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31639ab6b9c7c728139b5f8ce03991d800ac7741)
![{\displaystyle [P]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d78ad4ad13872df07ac9b02a2574250a0e54fd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d[E]}{dt}}&=-k_{f}[E][S]+k_{r}[ES]+k_{cat}[ES]\\{\frac {d[S]}{dt}}&=-k_{f}[E][S]+k_{r}[ES]\\{\frac {d[ES]}{dt}}&=k_{f}[E][S]-k_{r}[ES]-k_{cat}[ES]\\{\frac {d[P]}{dt}}&=k_{cat}[ES].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98633272b269a151ae0fe89b4f1f56a6c6d7e4c7)
![{\displaystyle [E]+[ES]=[E]_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad13d24a63d5ee09ed542b5a281471be77a68b09)
![{\displaystyle k_{f}[E][S]-k_{r}[ES]-k_{\mathrm {cat} }[ES]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7dbfa9daec3a02b2846548c058c32ed31d5844)
![{\displaystyle [E]=[E]_{0}-[ES].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f666594c389c604937e55eba6c9262c9752c325)
![{\displaystyle k_{f}([E]_{0}-[ES])[S]-k_{r}[ES]-k_{\mathrm {cat} }[ES]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6089608cca8aba2e7bce095e9a5c345593beffb3)
![{\displaystyle [ES]={\frac {[E]_{0}[S]}{{\frac {k_{r}+k_{\mathrm {cat} }}{k_{f}}}+[S]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4cef83f40d73bdc6ae947fc8040d230af6377b)
![{\displaystyle V_{\max }=k_{\mathrm {cat} }[E]_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8ad5bbfbdd33c4154648155442145135224ca2)
이 부분의 본문은 라인위버-버크 방정식입니다.
![{\displaystyle {K_{M}} \over {V_{max}[S]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c8df4e242a792cc9f21d56a4d8427ab4bc1f7c)
