메넬라오스 정리

기하학에서 메넬라오스 정리(영어: Menelaus' theorem)는 삼각형의 각 변 위의 점이 같은 직선 위의 점일 필요충분조건을 세 점이 각 변을 분할하는 비율 사이의 관계로 나타내는 정리이다.

점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 각각 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$의 직선 위의 점이라고 하자. 메넬라오스 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$는 공선점이다.

• 

  ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1}$

두 번째 조건에 등장하는 세 개의 비율은 유향 선분의 비율이다. 즉, ${\displaystyle AF/FB}$는 ${\displaystyle F}$가 ${\displaystyle AB}$의 내분점이면 양의 부호를, 외분점이면 음의 부호를 가지며, 남은 두 비율도 마찬가지다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 세 점이 모두 외분점이거나 정확히 하나가 외분점이어야 한다. 메넬라오스 정리는 세 점 가운데 하나가 무한원점인 경우에도 유효하다. 예를 들어, ${\displaystyle F}$가 직선 ${\displaystyle AB}$ 위의 무한원점일 경우, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 공선점일 필요충분조건은 ${\displaystyle DE}$가 ${\displaystyle AB}$에 평행하는 것이며, ${\displaystyle AF/FB=-1}$이 성립한다.

우선 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 공선점이라고 가정하고, 세 비율의 곱이 −1임을 보이자.^{[1]:66-67, §3.4} 파슈 공리에 의하여 외분점은 홀수 개이므로 세 비율의 곱은 음의 부호를 갖는다. 각 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$에서 직선 ${\displaystyle DE}$에 내린 수선의 발을 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BQ}$, ${\displaystyle CR}$는 평행선이므로

${\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {AP}{BQ}}\right|,\;\left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {BQ}{CR}}\right|,\;\left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {CR}{AP}}\right|}$

이다. 따라서

${\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {AP}{BQ}}\cdot {\frac {BQ}{CR}}\cdot {\frac {CR}{AP}}\right|=1}$

가 성립한다.

반대로

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1}$

이라고 가정하고 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 공선점임을 보이자. 직선 ${\displaystyle DE}$가 직선 ${\displaystyle AB}$와 ${\displaystyle F'}$에서 만난다고 하자. 그렇다면 위에서 증명한 바에 의하여

${\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1}$

이며, 따라서

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}}$

이다. 직선 ${\displaystyle AB}$를 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하므로 ${\displaystyle F=F'}$이며, 특히 ${\displaystyle F}$는 직선 ${\displaystyle DE}$ 위의 점이다.

우선 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 공선점이라고 가정하자.^{[2]:147-148, §13.1} 꼭짓점 ${\displaystyle B}$를 지나는 직선 ${\displaystyle DE}$의 평행선이 대변 ${\displaystyle AC}$의 직선과 점${\displaystyle X}$에서 만난다고 하자. 그렇다면 삼각형 ${\displaystyle ABX}$와 ${\displaystyle AFE}$는 서로 닮음이며, 삼각형 ${\displaystyle BCX}$와 ${\displaystyle DCE}$ 역시 서로 닮음이다. 특히

${\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {AE}{EX}}\right|,\;\left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {XE}{EC}}\right|}$

이므로,

${\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {AE}{EX}}\cdot {\frac {XE}{EC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=1}$

가 성립한다. 세 비율의 곱이 음의 부호라는 증명과 반대 방향의 증명은 첫 증명과 같다.

점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 각각 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$의 직선 위의 점이라고 하고, 이들에 각각 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$의 중점에 대한 반사를 가하여 얻는 점을 ${\displaystyle D'}$, ${\displaystyle E'}$, ${\displaystyle F'}$이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$는 공선점이다.
• ${\displaystyle D'}$, ${\displaystyle E'}$, ${\displaystyle F'}$는 공선점이다.

이는 반사된 세 점의 비율이 각각 원래 세 점의 비율의 역수이기 때문이다.

삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 남은 한 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 다시 말해, 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 세 내각 또는 외각의 이등분선 ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$, ${\displaystyle CF}$가 대변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$의 직선과 점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$에서 만난다고 하자. 만약 이들이 모두 외각의 이등분선이거나 정확히 하나가 외각의 이등분선이라면, 이들의 발 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$는 공선점이다.

 이 부분의 본문은 수심축입니다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 각 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$에서 대변의 직선에 내린 수선의 발을 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$라고 하고, 수심 삼각형 ${\displaystyle PQR}$의 세 변 ${\displaystyle QR}$, ${\displaystyle RP}$, ${\displaystyle PQ}$가 각각 원래 삼각형의 세 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$와 점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$에서 만난다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$는 공선점이며, 이들의 직선을 원래 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 수심축이라고 한다. 이는 원래 삼각형의 각 변이 수심 삼각형의 외각의 이등분선이기 때문이다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원의 각 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$에서의 접선이 대변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$의 직선과 점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$에서 만난다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$는 공선점이다.

임의의 다각형에서도 성립한다. 예를 들어, 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그의 연장선과 직선 l의 교점을 E, F, G, H라 하면 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {AE}{EB}}\cdot {\frac {BF}{FC}}\cdot {\frac {CG}{GD}}\cdot {\frac {DH}{HA}}=1}$

직선이 다각형을 지나지 않아도 된다.

알렉산드리아의 메넬라오스(고대 그리스어: Μενέλαος ὁ Ἀλεξανδρεύς)는 저서 《구면학》(라틴어: Sphaerica)의 제3권에서 구면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 제시하였으며, 이를 평면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 사용하여 증명하였다.^{[3]:121, §5.6} 평면 삼각형에 대한 정리의 증명은 이 책에서 제시되지 않았다.^{[3]:121, §5.6}

• 체바 정리
• 하루키 정리
• 체바 직선
• 등각 켤레점
• 각의 이등분선

위키미디어 공용에 메넬라오스의 정리 주제와 관련된 미디어 분류가 있습니다.

• “Menelaus theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Menelaus' theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Menelaus's theorem”. 《ProofWiki》 (영어).