복소해석학 에서 루셰 정리 (-定理, 영어 : Rouché's theorem )는 두 정칙 함수 의 영점 의 수가 같을 충분 조건을 제시하는 정리이다.
연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 γ : [ 0 , 1 ] → D {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D} 정칙 함수 f , g : D → C {\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {C} } z ∈ im γ {\displaystyle z\in \operatorname {im} \gamma }
| g ( z ) | < | f ( z ) | {\displaystyle |g(z)|<|f(z)|} 를 만족시킨다고 하자. 루셰 정리 에 따르면, im γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } f {\displaystyle f} f + g {\displaystyle f+g} [ 1] [ 2]
우선, 가정에 의하여 f {\displaystyle f} f + g {\displaystyle f+g} im γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } 유리형 함수 h : D → C {\displaystyle h\colon D\to \mathbb {C} }
h ( z ) = 1 + g ( z ) f ( z ) ∀ z ∈ D {\displaystyle h(z)=1+{\frac {g(z)}{f(z)}}\qquad \forall z\in D} 그렇다면, 임의의 z ∈ im γ {\displaystyle z\in \operatorname {im} \gamma }
| h ( z ) − 1 | < 1 {\displaystyle \left|h(z)-1\right|<1} 이며, h {\displaystyle h} im γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } im γ {\displaystyle \operatorname {im} \gamma } f {\displaystyle f} f + g {\displaystyle f+g} N ( γ , f ) {\displaystyle N(\gamma ,f)} N ( γ , f + g ) {\displaystyle N(\gamma ,f+g)} 편각 원리 에 의하여
N ( γ , f + g ) − N ( γ , f ) = 1 2 π i ∫ γ ( f ′ ( z ) + g ′ ( z ) f ( z ) + g ( z ) − f ′ ( z ) f ( z ) ) d z = 1 2 π i ∫ γ h ′ ( z ) h ( z ) d z = 1 2 π i ∫ h ∘ γ d w w = 0 {\displaystyle N(\gamma ,f+g)-N(\gamma ,f)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }\left({\frac {f'(z)+g'(z)}{f(z)+g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}\right)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {h'(z)}{h(z)}}\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\int _{h\circ \gamma }{\frac {\mathrm {d} w}{w}}=0} 이다.
우선, 가정에 의하여, 임의의 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} z ∈ im γ {\displaystyle z\in \operatorname {im} \gamma }
f ( z ) + t g ( z ) ≠ 0 {\displaystyle f(z)+tg(z)\neq 0} 이다. 편각 원리 에 의하여, 연속 함수
φ : [ 0 , 1 ] → Z {\displaystyle \varphi \colon [0,1]\to \mathbb {Z} } φ ( t ) = 1 2 π i ∫ γ f ′ ( z ) + t g ′ ( z ) f ( z ) + t g ( z ) d z ∀ t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)+tg'(z)}{f(z)+tg(z)}}\mathrm {d} z\qquad \forall t\in [0,1]} 의 상은 항상 정수이다. 즉, φ {\displaystyle \varphi } 상수 함수 이며, 특히
N ( γ , f ) = φ ( 0 ) = φ ( 1 ) = N ( γ , f + g ) {\displaystyle N(\gamma ,f)=\varphi (0)=\varphi (1)=N(\gamma ,f+g)} 이다.
방정식
z 7 − 4 z 3 + z − 1 = 0 {\displaystyle z^{7}-4z^{3}+z-1=0} 이 원
| z | = 1 {\displaystyle |z|=1} 의 내부에서 몇 개의 해를 갖는지 구해보자.[ 2] f , g : C → C {\displaystyle f,g\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
f ( z ) = 4 z 3 ∀ z ∈ C {\displaystyle f(z)=4z^{3}\qquad \forall z\in \mathbb {C} } g ( z ) = z 7 + z − 1 ∀ z ∈ C {\displaystyle g(z)=z^{7}+z-1\qquad \forall z\in \mathbb {C} } 그렇다면 f , g {\displaystyle f,g} 삼각 부등식 에 의하여 만약 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1}
| g ( z ) | ≤ 3 < 4 = | f ( z ) | {\displaystyle |g(z)|\leq 3<4=|f(z)|} 이다. f {\displaystyle f} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} f + g {\displaystyle f+g} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1}
루셰의 정리를 이용하면 대수학의 기본 정리 와 열린 사상 정리 , 후르비츠 정리 를 쉽게 증명할 수 있다.[ 2] [ 3]
루셰의 정리를 이용하여 간단히 대수학의 기본 정리를 증명해 보자. 임의의 n차 다항식에서 n차 항과 n-1차 이하 항을 각각 f, g로 잡자. 그러면 z의 크기를 무한대로 보낼 때 |g/f|→0 이므로, |z| = R로 둘러싸인 영역 이 g의 영점을 포함하고 이 경계에서 |g| < |f|를 만족하도록 항상 적당한 R을 잡을 수 있다. 그러면 |z| = R 안에서 f는 n개의 해를 가지므로, 루셰의 정리에 의해 f+g 역시 n개의 해를 가지게 된다.
프랑스 수학자 외젠 루셰 (프랑스어 : Eugène Rouché )의 이름이 붙어 있다.
↑ Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis , Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8 , p.91. ↑ 가 나 다 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007, 215쪽. ↑ 같은 책, 218쪽. 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007 Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis , Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8 
![{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e472a1bd16d5c728ffc1aa8727e1585c9695548b)
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
![{\displaystyle \varphi \colon [0,1]\to \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443589905e3f5036ab3247853a2a5b48ffab651f)
![{\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)+tg'(z)}{f(z)+tg(z)}}\mathrm {d} z\qquad \forall t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51570b40f5407040f30e15f8cefbe9bd4f6a4d4e)
